专题02 二项式定理与杨辉三角形（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题02 二项式定理+杨辉三角形压轴题 知识点1：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 知识点2：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点3：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点4：杨辉三角至少具有以下性质： ①每一行都是对称的，且两端的数都是1 ②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． ③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 题型一 两个二项式乘积展开式的系数问题 例题1．（2022上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 例题2．（2020上·广东汕头·高三统考阶段练习）的展开式中的系数为（ ） A． B． C．120 D．200 例题3．（2022下·内蒙古鄂尔多斯·高三鄂尔多斯市第一中学校考阶段练习）若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为 . 例题4．（2023下·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 . 练一练 1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（    ） A．16 B．8 C．0 D． 2．（多选）（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（    ） A． B．展开式中的常数项为 C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为 3．（2022·江西赣州·统考一模）展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为 ． 4．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）若，则 . 题型二 三项展开式的系数问题 例题1．（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数为（    ） A．299 B．300 C． D． 例题2．（2022福建南平·校联考二模）已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为． A． B． C． D． 例题3．（2023上·全国·高三专题练习）在的展开式中的系数为 . 例题4．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知常数，的二项展开式中项的系数是780，则m的值为 ． 练一练 1．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（   ） A．208 B． C．217 D． 2．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考阶段练习）展开式中含项的系数为 . 3．（2023下·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）的展开式的常数项为 ． 4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ． 题型三 二项式系数最大问题 例题1．（2023下·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（    ） A．4项 B．5项 C．6项 D．3项 例题2．（2023上·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为 . 例题3．（2023上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）在二项式的展开式中， (1)若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若展开式中第2项与第4项的系数之比是，求展开式中的有理项. 练一练 1．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为