专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题01 两个计数原理+排列组合压轴题 知识点1：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 知识点2：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 知识点3：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 知识点4：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 知识点5：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点6：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 知识点7：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 题型一 两个计数原理与数列 例题1．（多选）（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D．信封均被投错的概率大于 例题2．（2021上·福建泉州·高三晋江市第一中学校考阶段练习）某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分（），每个部分从m种不同颜色（）的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花．将总的栽植方案数用表示，则： ①等于二项式的展开式中第 项的系数； ② ． 例题3．（2022·全国·高三专题练习）把圆分成个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？ 练一练 1．（多选）（2017·北京·高三强基计划）正整数1，2，3，…n的全排列满足称为n项更列，记n项更列的个数为，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021下·山东济南·高三校联考阶段练习）数列共项，且，，关于的函数，，若是函数的极值点，且曲线的在点处的切线的斜率为，则满足条件的数列的个数为 ． 3．（2023·全国·高三专题练习）小学生甲玩耍上楼梯的游戏：建筑物有级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？ 题型二 两个计数原理与立体图形 例题1．（2022下·甘肃·高二校考期末）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　) A．420 B．210 C．70 D．35 例题2．（多选）（2023下·山西运城·高二统考期末）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（    ）    A．甲从必须经过到达的方法数共有9种 B．甲从到的方法数共有180种 C．甲、乙两人在处相遇的概率