第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（知识清单+9类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课程标准 学习目标 ①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。 ②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题； 知识点01：平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 【即学即练1】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，故. 故答案为：-5 知识点03：向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． 【即学即练2】（2023·全国·模拟预测）平面向量，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得，所以，所以． 故选：C． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 【即学即练3】（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ． 【答案】/0.5 【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值. 故答案为： 题型01 平面向量数量积的坐标表示 【典例1】（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在边长为2的正六边形中，（    ） A．6 B．-6 C．3 D．-3 【典例2】（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则 【变式1】（2024上·北京房山·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·天津·高三统考期中）在直角梯形中，，且，若，则 . 题型02 向量垂直的坐标表示 【典例1】（2023下·广东韶关·高二校考期中）已知向量，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·河南·高三校联考期中）已知向量，，，若，则 ． 【变式1】（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知，若实数满足，则 ． 【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．4 题型03 利用向量的数量积求参数 【典例1】（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数 ． 【变式1】（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则 ． 【变式2】（2020上·江苏连云港·高三期中）在菱形中，，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型04 向量的投影 【典例1】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023上·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【变式1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知向量，，则在方向上的投影为 . 【变式2】（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 题型05 向量的模 【典例1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2023上·北京·高三北京八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，且.设，则（    ） A． B． C． D．2 【变式1】（2023上·河北唐山·高三统考期中）已知向量，满足，，，则等于 ． 【变式2】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知向量，，若，则 . 题型06 向量的夹角 【典例1】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，