第6讲数列的基本运算与性质讲义-2024届高三数学一轮复习

高三数学第六讲 数列的基本运算与性质 一、知识要点 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝＝na1＋d； (3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝； (3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列. 二、规律方法 例1. (1)已知是公比大于的等比数列．若,,成等差数列，则（ ） A． B． C． D． (2)设为等差数列的前n项和，且，则 ( ) A. B. C.2018 D.2016 (3)(多选题）设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2015a2016>1，<0.给出下列结论,其中正确的结论为 (　 　) A.0<q<1； B.a2015a2017－1>0； C.T2016的值是Tn中最大的 D.使Tn>1成立的最大自然数等于4030. 例2.(1)等差数列和的前n项和分别为和，对一切自然数n都有，则等于 (2)在等比数列中，，则 (3)设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为 ( ) A.1006 B.1007 C.1008 D.1009 (4)等差数列满足，则的取值范围是________． 例3.设正项等比数列的首项，前n项和为，. (1)求的通项； (2)求的前n项和. 例4.(1)设等差数列{an}满足(1－a1 008)5＋2 016(1－a1 008)＝1， (1－a1 009)5＋2 016(1－a1 009)＝－1，数列{an}的前n项和记为S，则 (　 　) A.S2 016＝2 016，a1 008>a1 009 B.S2 016＝－2 016，a1 008>a1 009 C.S2 016＝2 016，a1 008<a1 009 D.S2 016＝－2 016，a1 008<a1 009 (2)已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 ( ) A. (1,3) B. C. (2,3) D. (3)已知函数，数列为等比数列，，则 （4）（多选题）在数列中，若，则称为“和等比数列”.设为数列的前n项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有( ) A. B. C. D. （5）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3).若a1>1，则(　　) A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3，a2<a4 C.a1<a3，a2>a4 D.a1>a3，a2>a4 例5.在①，，成等差数列，且；②，且；③（为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，，___________，其中. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 巩固练习： 1.（多选）已知数列满足，，则下列结论中正确的有( ) A.为等比数列 B.的通项公式为 C.为递增数列 D.的前n项和 2.（多选）设是数列的前n项和，且，，则( ) A. B.数列是公差为的等差数列 C.数列的前5项和最大 D. 3.已知数列满足，． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）若，记的前n项和为，求证：. 4.在①，，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知为正项数列的前项和，___________. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$