第5讲极值点偏移问题讲义-2024届高三数学一轮复习

高三数学第五讲 极值点偏移问题 极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性. 已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移（如二次函数）；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏左：，处切线与x轴不平行； 若上凸(递减)，则，若下凸(递增)，则。 极值点偏右：，处切线与x轴不平行； 若上凸(递减)，则，若下凸(递增)，则. 解题方法及步骤： 对称化构造：若是函数的两个零点,而是函数的极值点,证明（或）,根据函数单调性求解的步骤是： 1、 设，构建函数; 2、 判断函数的单调性; 3、 证明（或）即（或）; 四、由函数的单调性证（或）. 对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出,二、通过等式两边同除以构建对数平均数,三、利用对数平均不等式将转化为后再证明（或）. 例1.已知函数. (1) 求函数的单调区间和极值； (2)如果，且，证明． 消参减元 例2.已知函数f(x)＝ln x－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1·x2>e2. 例3.已知函数f(x)＝ln(ax)＋ax2－2x，a>0.设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，且x1<x2，求证：x1＋x2>2. 对称变换 例4.已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 例5.已知函数f(x)＝＋ln x. (1)求f(x)的极值和单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4. 比(差)值换元 例6.已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：x1x2<. 例7.已知函数f(x)＝－m的两个零点为x1，x2，证明：ln x1＋ln x2>2. 对数均值不等式 例8.设函数其图象与轴交于两点,且. （1）求实数的取值范围； （2）证明：为函数的导函数）； 例9.已知函数． 若，求函数的单调区间； 若函数有两个不相等的零点，，证明：． 练习： 1.关于函数，下列说法错误的是（     ） A．是的极小值点 B．函数有且只有个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 2（多选）.已知函数，则（     ） A． B．若有两个不相等的实根、，则 C． D．若，x，y均为正数，则 学科网（北京）股份有限公司 $$