平面向量的数量积及应用第二课时导学案-2024届高三数学一轮复习

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 平面向量的数量积及应用 课型 课时 第2课时 主备教师 学习目标 1、 掌握平面向量数量积的性质及几何意义； 2、 掌握平面向量数量积的运算律；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算。 3、 会运用数量积解决某些简单的几何问题. 1．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝ 分配律 (a＋b)·c＝ 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝ 2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．数量积不满足乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)． 3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝. 4．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b夹角为0时也有a·b>0)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b<0)． 1．已知向量a＝(0,2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝(　　) A．－2 B．2 C．1 D．－1 2.已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则 k＝________. 3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a上的投影向量 的模为________. 考向三　数量积运算的综合应用 角度　最值或范围问题 例5　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) (2)已知平面向量，满足||＝||＝1，·＝－，若||＝1，则||的最大值为(　　) A.－1 B．－1 C.＋1 D．＋1 　与向量相关的最值或范围问题 求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围． 　 角度　向量与三角函数、解三角形的综合问题 例6　已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C.·＝· D.·＝· 　向量与三角函数、解三角形综合问题的解题策略 (1)通过向量的坐标运算构建出含有三角表达式的等量关系． (2)灵活运用三角恒等变换、三角函数的性质及正弦、余弦定理解题． 提醒：注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误． 巩固练习 1.已知a，b为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的取值范围为(　　) A．[1,1＋] B．[2－，2＋] C．[，2] D．[3－2，3＋2] 2．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　) A. B． C. D．[0,1] 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若向量m＝(a，－cosA)，n＝(cosC，b－c)，且m·n＝0，则角A的大小为(　　) A. B． C． D． 4．已知向量a＝(sinθ，)，b＝(1，cosθ)，|θ|≤，则|a－b|的最大值为(　　) A．2 B． C．3 D．5 5．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为(　　) A. B． C． D． 四、课堂小结 第六章平面向量与复数 第三