2024年中考数学高频压轴题训练：二次函数压轴题（特殊四边形）

2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊四边形） 1．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）求直线AC的函数解析式； （3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 2．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求使△APC的面积为整数的P点的个数； （3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由； （4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值． 3．如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP． （1）求抛物线的解析式； （2）若△AOP的面积是3，求P点坐标； （3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2，直线l：y＝kx+b经过M，N两点． （1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集； （2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C1与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由． 6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标； （2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标； （3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线1∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．    8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由； （3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．    （1）该抛物线的解析式为　 　； （2）直线y＝kx+l（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标； （3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、