2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当 时，求点 E 的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标； (3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 5．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 6．如图，二次函数的图像过点，与轴交于点. （1）证明：（其中是原点）； （2）在抛物线的对称轴上求一点，使的值最小； （3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点 . 请问 是否存在这样的点，使. 若存在， 请求出点的坐标；若不存在，说明理由. 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l：交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线l相交于A、B两点． ⑴ 求抛物线的解析式； ⑵ 设点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PAE的周长最小时，求点P的坐标； ⑶ 在x轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y＝－ax＋3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N． （1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式； （2）若线段MP与PN的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式． 9．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上． (1)求直线BC的解析式； (2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标； (3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围． 10．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）题中的抛物线上有一个动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标； （3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD． （1）点C的坐标是　 　，线段AD的长等于　 　； （2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式； （3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由． 12．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q． ①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少