复习05 求离心率和轨迹方程（八大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习05求离心率和轨迹方程 一、求离心率的值或取值范围 1.利用图形的几何性质 （1）特殊三角形与离心率:一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,通常数形结合,用几何法进行运算 （2）平行四边形与离心率:可能存在四边形也可能利用圆锥曲线的对称性构造四边形,一般有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等. （3）圆与离心率:一般利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是,半径相等,圆与圆的位置关系等. 2.利用坐标运算:如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解 3.借助题目中给出的不等信息或者平面几何图形中的不等关系: （1）题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如圆与双曲线对横坐标的范围有要求. （2）根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系即可 4.借助函数的值域求解范围：若题目中有一个核心变量,则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可 二、求轨迹方程 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 2.定义法：动点满足的几何条件符合基本轨迹（如圆、椭圆、抛物线和双曲线）的定义条件时，我们可以根据基本轨迹的方程写出轨迹方程，或设出标准方程，然后利用待定系数法求解 3.相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 4.点差法：圆雉曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆雉曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程. 考点01利用几何性质求解离心率 【例1】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【例2】已知，分别是双曲线的左右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为 ． 【变式1-2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为 . 考点02利用双余弦定理求解离心率 【例3】已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知为双曲线的右焦点，点，在上，，为坐标原点，，则的离心率为 . 【变式2-2】已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，为上一点．若平分，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 考点03与斜率乘积相关求解离心率 【例5】已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为 . 【变式3-2】已知双曲线的两个顶点分别为，点P在双曲线上且异于点，若直线的斜率之积为8，则双曲线的率心率为 . 【变式3-3】椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点04利用坐标法求解离心率 【例7】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于