学案6 函数的性质第二课时 函数的奇偶性与周期性-2024届高三数学一轮复习

第二课时 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 口诀记忆 奇偶性有特征，定义域要对称； 奇函数，有中心，偶函数，有对称. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. [熟记常用结论] 1．奇偶性的5个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 2．周期性的4个常用结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a. 3．对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 题型一　　函数奇偶性的判断 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1) ； ( 2)f(x)＝ (3)f(x)＝； (4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)． 2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，则下列叙述正确的是(　　) A．f(x)＋g(x)是偶函数 B．f(x)g(x)为奇函数 C．xf(x)－xg(x)为偶函数 D．f(|x|)＋xg(x)为奇函数 题型二　　函数奇偶性的应用 1．利用函数的奇偶性求函数值 3.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝2x＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 4.设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__ __． 2．利用函数奇偶性求函数的解析式 5已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时， f(x)＝－3x2＋3x－1，则函数f(x)的解析式为(　　) A． f(x)＝ B．f(x)＝ B． C．f(x)＝D．f(x)＝－3x2＋3x－1 3.利用函数的奇偶性求参数值 6若函数f(x)＝是R上的偶函数，则f(a－1)＝(　　) A．1 B．－1 C．－ D. 7.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2019x3－sinx＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为(　A　) A．0 B．2 C．－2 D．不能确定 题型三　　函数的周期性及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 8.已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时， f(x)＝ln(－x)＋x；当－e≤x≤e时， f(－x)＝－f(x)；当x>1时， f(x＋2)＝f(x)，则f(8)＝(　　) A．ln2－2 B．2－ln2 C．0 D．ln2 9.若函数f(x)是偶函数，并且满足f(2＋x)＝f(2－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则f(2022)＝(　　) A．3 B．2 C．6 D．20 10若函数f(x)满足f(x＋1)＝和f(2－x)＝f(x＋1)，且当x∈时， f(x)＝2x＋2，则f(2022)＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．5 题型四 函