函数的性质第一课时单调性与最值学案-2024届高三数学一轮复习

衡水市第二中学 高三数学学案 　　　　　　　　　　 使用时间： 年 月 日 学案6 函数的性质 第一课时：单调性与最值 【学习目标】 1.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性． 2．理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大(小)值． 【知识回顾】 1．函数的单调性❶ (1)增函数、减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)❸，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)❹，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间❺. 2．函数的最值❻ 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 x1，x2的特征： (1)任意性；(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)；(3)属于同一个单调区间. 对于∀x1，x2∈D， 都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0. 注意： (1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域． (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. [熟记常用结论] 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性． (2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数． 2．复合函数的单调性 对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． 题型一　　函数单调性的判断 1.判断函数(x)＝2x－在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明结论． 2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－2x　　　　B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ln(x＋1) 　　题型二　　求函数的单调区间 3.　求下列函数的单调区间． (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y= 4.　设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　) A．(－∞，0] B．[0,1) C．[1，＋∞) D．[－1,0] 题型三　抽象函数单调性 5. 已知f(x)对任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,有f(x)>1. (1)求f(0)；(2)求证：f(x)在R上为增函数； (3)若f(1)=2，且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围. 6. 已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y） （1）求证：（2）证明：f（x）在定义域上是增函数（3）如果，求满足不等式的x的取值范围． 题型四：函数单调性的应用 1．利用单调性求参数范围 7.已知函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是（     ） A.​B.​C.D. 8.已知f（x）=loga（8-3ax）在[-1，2]上的减函数，求实数a的取值范围 9.若在区间(0，m)内任取实数， (≠)，不等式(ln－ln)(－)＜0均成立，则实数m的最大值是(　　)A．