2.5 二次函数与一元二次方程　课件　　2023—2024学年北师大版数学九年级下册

5 二次函数与一元二次方程 第二章 二次函数 逐点 学练 本节小结 作业提升 学习目标 本节要点 1 学习流程 2 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系 知识点 感悟新知 1 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，由二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0 时，函数值是0，因此x=x0 是方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的一个根. 感悟新知 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 与二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下： 感悟新知 判别式 结果 内容 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不等的实数根 x= 有两个相等的实数根x1=x2= 没有实数根 感悟新知 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象 a>0 a<0 感悟新知 抛物线与x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 感悟新知 拓宽视野 已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函数y=ax2+bx+c 的函数值y=m，求自变量x 的值. 一元二次方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=m 的公共点的横坐标. 感悟新知 二次函数y=x2－6x+n 的图象如图2-5-1，若关于x的一元二次方程x2－6x+n=0 的一个根为x1=1，则另一个根x2=________ . 例 1 5 9 感悟新知 解题秘方：紧扣抛物线与x 轴两交点与对称 轴的关系求解. 解：由图象知抛物线与x轴的一个交点为(1，0). 由题知抛物线的对称轴为直线x=－ =3. ∴抛物线与x 轴的另一个交点是(5，0). ∴方程的另一个根为x2=5. 可用一元二次方程根与系 数的 关系进行验证. 10 感悟新知 1-1. 抛物线y=x2+2x+m－1 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A.m<2 B.m>2 C.0<m ≤ 2 D.m<－2 1-2.[中考· 成都] 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y=x2+2x+k与x 轴只有一个交点，则k= _____． A 1 11 知识点 二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系 感悟新知 2 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根. 感悟新知 1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 (1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0 的根的个数. 感悟新知 (2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 感悟新知 方法提醒 估计一元二次方程的根的方法： 对于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1与x2之间存在一个根，取x3= ，若ax23+bx3+c>0，则取x4= ；若ax23+bx3+c<0，则取x4= . 这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止. 感悟新知 (3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 感悟新知 2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的根 (1)将方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式； (2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2 和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； (3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 感悟新知 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8 的近似根(结果精确到0.1). 例2 解题秘方：画出二次函数y=－x2+2x+5 的图象，利用二次函数的图象与x 轴的