1.1 锐角三角函数 课件-2023-2024学年北师大版数学九年级下册

1 锐角三角函数 第一章 直角三角形的边角关系 逐点 学练 本节小结 作业提升 学习目标 本节要点 1 学习流程 2 正切 正切与梯子的倾斜程度的关系 坡度与坡角 正弦、余弦 锐角三角函数 知识点 感悟新知 1 正切 正切的概念 如图1-1-1，在Rt △ ABC 中，如果锐 角A 确定，那么∠ A 的对边与邻边的比便 随之确定，这个比叫做∠ A 的正切，记作 tan A，即tan A= . 如果用a，b 分别表示∠ A 的对边与邻边，那么tan A= . 特别提醒 ●tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠ A 的正切. ● tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A 的大小只与∠ A 的大小有关. 感悟新知 [中考·桂林] 如图1-1-2，在Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥ AB，垂足为D，则tan ∠ BCD= __________. 例 1 4 感悟新知 解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值. 解：∵∠ BCD+ ∠ ACD=90°，∠ CAB+ ∠ ACD=90°，∴∠ BCD= ∠ CAB，∴ tan ∠ BCD=tan ∠ CAB 5 感悟新知 1-1. 在Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是( ) B 6 知识点 正切与梯子的倾斜程度的关系 感悟新知 2 正切与梯子的倾斜程度的关系 (1)当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A 的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度. 特别提醒 ●在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度. ●一个锐角的正切值随角度的增大(减小)而增大( 减小). 感悟新知 (2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定， 这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关. (3)对“倾斜程度”的理解： ①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”. ②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”. 感悟新知 如图1-1-3，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒更陡吗？说明理由. 例2 感悟新知 解题秘方：紧扣倾斜程度与正切值的关系以及正切值的求法解决问题. 方法点拨：比较物体倾斜程度的两种方法. 1.通过测量物体与地面夹角的大小来判断物体的倾斜程度，夹角越大，物体放置得越陡. 2. 通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越陡. 感悟新知 解：木棒CD 更陡. 理由如下： 在Rt △ ABE 中，AE= ∴ tan ∠ ABE= 在Rt △ CDE 中，CE= ∴ tan ∠ CDE= ∵ tan ∠ CDE ＞ tan ∠ ABE，∴木棒CD 更陡. 感悟新知 2-1. 如图， 梯子AB 和EF中，更陡的是( ) A. 一样陡 B. 梯子AB C. 梯子EF D. 不能确定 C 知识点 坡度与坡角 感悟新知 3 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i 坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角越大， 坡面就越陡 当h=1，l= 时，坡度i=1∶ ，坡角α为30° 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α 感悟新知 特别提醒 ●坡度是一个比；坡角是一个角. ●坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数. 感悟新知 如图1-1-4， 拦水坝的横截面为梯形ABCD，BC ∥ AD，斜坡AB 的坡度为1 ∶ 3，坝顶宽BC=3 m，坝高为4 m，斜坡CD=5 m . (1)试比较斜坡AB 和CD 哪个更陡； (2)求坝底AD 的长. 例 3 解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题. 感悟新知 解：(1)如图1-1-4，过点C 作CF ⊥ AD，垂足为F， 则CF=4 m. 在Rt △ CFD 中， 根据勾股定理， 得FD= ， ∴ tan D= ∵ tan A= ，∴ tan D ＞ tan A，∴斜 坡CD 更陡. 感悟新知 (2)如图1-