专题1.16 完全平方公式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.16 完全平方公式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】完全平方公式 1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 即用字母表示为：=±2ab+ 2.完全平方公式的几种常见变化公式 （1）+=-2ab=+2ab （2）=+4ab （3）=-4ab （4）+=2(+) （5）-=4ab （6）ab=[-(+)]=[-)] （7）+++2ab+2ac+2bc 特别解读 1.弄清公式的特征：公式的左边是是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍. 2.理解字母a,b的意义：公式中的字母a,b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式. 【知识点二】完全平方公式的验证 1.验证=+2ab+ 如图，大正方形的面积可以表示为，也可以用四个部分的面积之和来表示，即+ab+ba+，所以=+ab+ba+=+2ab+. 2.验证=-2ab+ 如图，阴影部分的面积可以表示为=，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以=-(a-b)·b-(a-b)·b=-2ab+ 特别解读 利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积. 【知识点三】利用乘法公式进行整式的混合运算 1.当两个三项式相乘是，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，在运用乘法公式计算. 2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读 1.添括号只是一个变式，不改变式子的值. 2.添括号是否正确，可利用去括号检验. 【考点目录】 【考点1】运算完全平方公式进行运算； 【考点2】应用乘法公式化简求值； 【考点3】应用完全平方公式进行简便运算； 【考点4】完全平方公式中的整体思想； 【考点5】完全平方公式参数问题； 【考点6】建立完全平方公式模型解决实际问题. 【考点1】运算完全平方公式进行运算； 【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，注意整体思想的运用．平方差公式和完全平方公式． （1）把看做为一个整体，运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可； （2）把看做为一个整体，运用完全平方公式计算，再运用完全平方公式计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024上·上海宝山·七年级统考期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的特征：； 根据完全平方公式逐个判断即可． 解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确； 故选：D． 【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）若，则m的值为 ． 【答案】－7 【解析】略 【考点2】应用乘法公式化简求值 【例2】（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知． （1）______； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】（1）本题考查已知代数式的值求代数式的值，先变形代数式，代入求解即可得到答案； （2）本题考查平方差公式及完全平方公式求值，先化简再带入计算即可得到答案； （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 【变式1】（2023上·上海青浦·七年级校考期中）已知，则的值为（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．将所求式子利用完全平方公式转化为，代入计算即可得． 解：， ． 故选：A． 【变式2】（2023上·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式，换元法是解题的关键．设，换元后进行计算即可求解． 解：设， ∵， ∴， 即， 解得， 即的值为16． 故答案为：16． 【考点3】应用完全平方公式进行简便运算； 【例3】（2023下·全国·八年级假期作业）利用简便方法计算． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）原式． （2）原式． 【变式1】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图是嘉淇关于的计算过程，则开始出现错误的是（    ） ……① ……② ……③ ……④ A．步骤① B．步骤② C．步骤③ D．步骤④ 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 解： ……① ……② 故选B．