专题9.26 正方形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.26 正方形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 【知识点二】正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【知识点三】正方形的判定 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角为直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 【知识点四】正方形的对称性 1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 特别提醒： 【知识点五】四边形之间的关系 1.四边形之间的关系 四边形四条边都相等是菱形 四边形有三个角是直角是矩形 四边形只有一组对边平行是矩形 矩形两腰相等是等腰梯形 矩形一个角是直角是直角梯形 四边形两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）是平行四边形 四边形两条对角线互相平分是平行四边形 四边形两组对角分别相等是平行四边形 平行四边形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是菱形 平行四边形有一个角是直角，有一组邻边相等是正方形 平行四边形有一个角是直角（或对角线相等）是矩形 菱形有一个角是直角（或对角线相等）是正方形 矩形有一组邻边相等（或对角线互相垂直）是正方形 2.四种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形，中心对称图形 菱形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直评分，且每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 正方形 对边平行、四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直评分且相等，每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 【考点目录】 【正方形性质与判定的理解】 【考点1】正方形性质的理解； 【考点2】正方形判定的理解； 【正方形性质定理】 【考点3】利用正方形性质证明与求值 【正方形判定定理】 【考点4】利用正方形判定定理证明与求值 【正方形性质定理与判定定理】 【考点5】利用正方形性质定理和判定定理证明与求值 【正方形性质与判定的理解】 【考点1】正方形性质的理解； 【例1】（2023下·江西赣州·八年级统考期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．   （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得证； （2）根据等边对等角可得，，由等边三角形的性质可得，最后代入计算可得出答案． 解：（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴的度数为． 【点拨】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，等边对等角．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式1】（2022下·湖南湘西·八年级统考期末）菱形、矩形、正方形都具有的特点是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线平分对角 【答案】C 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，理解菱形、矩形、正方形之间的关系，掌握性质是解题的关键． 解：A.矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意； B.菱形的对角线不一定相等，故不符合题意； C.菱形、矩形、正方形的对角线互相平分，故符合题意； D.矩形的对角线不一定平分对角，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，菱形与正方形的顶点，，，在同一条直线上，且，．   （1）的度数为 （2）点与点之间的距离为 ． 【答案】 /15度 4 【分析】（1）连接，交于点O，根据题意可得，即可求出的大小； （2）由菱形的性质可得，结合即可得到是等边三角形，即可求出的长，再由正方形的性质得到． 解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，    故答案为：． （2）∵四边形是菱形，四边形是正方形，