18.2.3正方形（2）正方形的判定 课件-2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 第12课　正方形的判定 正方形的判定 正方形的判定方法 几何语言 图示 判定定理1:有一组邻边______的____形是正方形  在矩形ABCD中,AB＝AD, ∴四边形ABCD是正方形 判定定理2:有一个角是______的____形是正方形  在菱形ABCD中,AB⊥AD, ∴四边形ABCD是正方形 相等 矩 直角 菱 1　经典例题如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CFDE是正方形. 证明:∵∠ACB ＝ 90°,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴四边形CFDE是矩形. 又CD平分∠ACB, ∴DE＝DF. ∴四边形CFDE是正方形. 2　变式训练 如图,在△ABC中,已知∠BAC＝45°,AD⊥BC于点D,分别将△ABD,△ACD沿AB,AC对折,得到△ABE,△ACF,延长EB,FC相交于点G.求证:四边形AEGF是正方形. 证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 由翻折的性质可知,∠E＝∠ADB＝90°, ∠F＝∠ADC＝90°, AE＝AD＝AF,∠BAD＝∠BAE,∠CAD＝∠CAF. ∵∠BAC＝45°,∴∠EAF＝90°. ∴四边形AEGF是矩形. 又AE＝AF,∴矩形AEGF是正方形. 3　经典例题 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F. (1)求证:四边形AEDF是菱形; 证明:∵DE∥AB,DF∥AC, ∴四边形AEDF是平行四边形,∠EDA＝∠FAD． ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠EAD＝∠FAD．∴∠EAD＝∠EDA．∴EA＝ED． ∴平行四边形AEDF是菱形. (2)当△ABC满足条件_____________时,四边形AEDF是正方形.  ∠BAC＝90° 4　变式训练 如图,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,且AF＝BP＝CQ＝DE. 求证:(1)EF＝FP＝PQ＝QE; 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,AB＝BC＝CD＝AD． ∵AF＝BP＝CQ＝DE, ∴DF＝AP＝BQ＝CE.∴△DFE≌△APF≌△BQP≌△CEQ(SAS). ∴EF＝FP＝PQ＝QE. (2)四边形EFPQ是正方形. 证明:∵EF＝FP＝PQ＝QE,∴四边形EFPQ是菱形. ∵△APF≌△BQP,∴∠AFP＝∠BPQ. ∵∠AFP＋∠APF＝90°,∴∠APF＋∠BPQ＝90°. ∴∠FPQ＝90°.∴菱形EFPQ是正方形. 基础过关 1．如图,▱ABCD的对角线互相垂直,要使四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是____________(只需添加一个即可).  AC＝BD 2．【推理能力】一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形: a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c. 其中正确的有(　　) A．仅①　　 B．仅③　　 C．①②　　 D．②③ C 能力过关 3．如图,等边三角形AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC, CD上,且∠CEF＝45°.求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形, ∴AE＝AF,∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°,∴∠CFE＝∠CEF＝45°. ∴∠AEB＝∠AFD＝180°－45°－60°＝75°. ∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD． ∴矩形ABCD是正方形. 4．如图,在矩形ABCD中,AD＝6,DC＝8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH＝2,DG＝2．求证:四边形EFGH是正方形. 证明:∵四边形EFGH是菱形, ∴HG＝EH.∵AH＝2,DG＝2,∴DG＝AH. 在Rt△DHG和Rt△AEH中, ∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL).∴∠DHG＝∠AEH. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°, ∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°. ∴菱形EFGH是正方形. 思维过关 5．(2023·惠州期中)如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE∥CA,DF∥BA．下列四个判断中,正确的有(　　) ①四边形AEDF是平行四边形; ②如果∠BAC＝90°,那么四边形AEDF是矩形; ③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形; ④如果∠BAC＝90°,AD⊥BC,且AB＝AC,那么四边形AEDF是正方形. A．1个　　B．2个　C．3个　　D．4个