18.2.3 正方形的性质 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 第11课　正方形的性质 正方形的性质 (1)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形、菱形的所有性质; (2)正方形的四条边都______,四个角都是______,对角线____________ __________,对角线平分每一组______.  相等 直角 相等且互相 垂直平分 对角 1　母题演变(教材P67)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形DCE,则∠AEC的度数是______.  45° 2　变式训练如图,在正方形ABCD中,E是AC上的一点,且AB＝AE,则∠EBC的度数是(　　) A．20° B．22．5° C．30° D．45° B 3　经典例题如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE＝DF. (1)求证:△ABE≌△CDF; 证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AB＝CD,∠ABE＝∠CDF＝45°. 又BE＝DF, ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)若AB＝3,BE＝2,求四边形AECF的面积. 解:如图,连接AC,交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,AO＝CO,DO＝BO. 又BE＝DF,∴OE＝OF.∴四边形AECF是平行四边形. 又AC⊥EF,∴平行四边形AECF是菱形. ∵AB＝3,∴AC＝BD＝6．∵BE＝DF＝2, ∴EF＝BD－BE－DF＝2． ∴四边形AECF的面积为AC·EF＝×6×2＝6． 4　变式训练如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE＝BF,连接AE,AF,EF. (1)求证:△ABF≌△ADE,AE⊥AF; 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC＝∠ADC＝90°, AB＝AD． ∴∠ABF＝∠ADE＝90°. 又BF＝DE,∴△ABF≌△ADE(SAS). ∴∠BAF＝∠DAE. ∵∠BAE＋∠DAE＝90°, ∴∠BAE＋∠BAF＝90°＝∠EAF.∴AE⊥AF. (2)若BC＝8,DE＝6,求△AEF的面积. 解:∵△ABF≌△ADE,∴AF＝AE. ∵四边形ABCD是正方形,BC＝8,DE＝6, ∴AD＝BC＝8． 在Rt△ADE中,AE＝＝10． ∴AF＝AE＝10． 又AE⊥AF,∴△AEF的面积为AE·AF＝50. 基础过关 1．(2023·汕头期中)以下说法不正确的是(　　) A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形对角线相等 C．正方形对角线互相垂直平分 D．菱形四条边相等 A 2．若正方形的对角线长为 2 cm,则这个正方形的面积为(　　) A．4 cm2 B．2 cm2 C． cm2 D．2 cm2 B 能力过关 3．如图,在正方形ABCD中,点F为AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE,若∠BCF＝20°,则∠AEF为(　　) A．35° B．40° C．45° D．50° D 4．如图,正方形ABCD的边长为,O是对角线BD上一动点(点O与端点B,D不重合),OM⊥AD于点M,ON⊥AB于点N,连接MN,则MN长的最小值为___.  1 思维过关 5．【几何直观】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,正方形A1B1C1O绕点O转动. (1)求证:△AOE≌△BOF; 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AO＝BO,AO⊥BO,∠BAO＝∠CBO＝45°. ∴∠AOE＋∠BOE＝90°. ∵四边形A1B1C1O为正方形,∴∠A1OC1＝90°. ∴∠BOE＋∠BOF＝90°.∴∠AOE＝∠BOF. ∴△AOE≌△BOF(ASA). (2)试说明四边形BEOF的面积为正方形ABCD面积的. 解:∵△AOE≌△BOF, ∴S△AOE＝S△BOF. ∴S四边形BEOF＝S△ABO＝S正方形ABCD． 6．如图,有一张面积为1的正方形纸片ABCD,M,N分别为AD,BC的中点.将点C折到MN上,落在点P的位置,折痕为BQ,连接PQ. 解:如图,连接PC．由翻折的性质,可得BQ垂直平分PC． ∴BC＝BP. ∵M,N分别为AD,BC的中点,且四边形ABCD是面积 为1的正方形, ∴BP＝PC＝BC＝MN＝1．∴△PBC为等边三角形. ∵PN⊥BC,BN＝NC＝BC＝,∠BPN＝∠BPC＝30°, ∴PN＝,MP＝MN－PN＝. (1)求MP的长; (2)求PQ的长. 解:由题意,可得PQ＝QC,∠PBQ＝∠QBC＝30°. 在Rt△BCQ中,BC2＋QC2＝BQ2,BC＝1,BQ＝2QC , ∴QC＝.∴PQ＝. 1．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时,发现它们的对角线都具有的性质是(　　) A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一组对角 C 基础训练 2．如