18.2.2菱形（2）菱形的判定 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 第10课　菱形的判定 菱形的判定 菱形的判定方法 几何语言 图示 定义判定:有一组邻边________的__________形是菱形  在平行四边形ABCD中,AB＝AD, ∴四边形ABCD是菱形 判定定理1:对角线互相_______的__________形是菱形  在平行四边形ABCD中,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形 判定定理2:四条边______的_____形是菱形  在四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA, ∴四边形ABCD是菱形 相等 平行四边 垂直 平行四边 相等 四边 1　经典例题如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(　　) ①AC＝BD;②AC⊥BD;③AB＝BC;④∠BAD＝90°. A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ B 2　变式训练已知在如图所示的△ABC中,AB＝AC,将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　) A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B 3　经典例题如图,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上且BC＝AB,连接CD． 求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵AE∥BF,∴∠ADB＝∠DBC． ∵BD平分∠ABC,∴∠DBC＝∠ABD． ∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD． 又BC＝AB,∴AD＝BC． 又AE∥BF,即AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形. 4　变式训练 如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N. (1)求证:△PBE≌△QDE; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴EB＝ED,AB∥CD． ∴∠EBP＝∠EDQ. 又∠BEP＝∠DEQ,∴△PBE≌△QDE(ASA). (2)顺次连接点P,M,Q,N.求证:四边形PMQN是菱形. 证明:由(1),得△PBE≌△QDE.∴EP＝EQ. 同理,得△BME≌△DNE(ASA).∴EM＝EN. ∴四边形PMQN是平行四边形. 又PQ⊥MN, ∴平行四边形PMQN是菱形. 基础过关 1．下列说法不正确的是(　　) A．四边都相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2．在平行四边形ABCD中,若对角线AC与BD相互垂直,则AB－BC＝___.  B 0 能力过关 3．如图,在等腰三角形ABC中,AB＝AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH＝EH.求证:四边形EBFC是菱形. 证明:∵AB＝AC,AH⊥BC,∴BH＝CH. 又FH＝EH,∴四边形EBFC是平行四边形. 又EF⊥BC,∴四边形EBFC是菱形. 4．【应用意识】如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分构成的四边形ABCD是菱形吗?为什么? 解:重叠部分构成的四边形ABCD是菱形.理由如下: ∵AB∥CD, AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 如图,分别作CD,BC边上的高AE,AF. ∵两纸条宽度相同,∴AE＝AF. 又平行四边形的面积为AE·CD＝AF·BC, ∴CD＝BC．∴平行四边形ABCD是菱形. 思维过关 5．如图,在▱ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点. (1)求证:四边形AMCN是平行四边形; 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD＝BC． ∵M,N分别是AD和BC的中点, ∴AM＝AD,CN＝BC．∴AM＝CN. 又AM∥CN,∴四边形AMCN是平行四边形. (2)当∠ACD满足什么条件时,四边形AMCN是菱形,请说明理由. 解:当∠ACD＝90°时,四边形AMCN是菱形.理由如下: ∵M是AD的中点,∴AM＝DM. ∵∠ACD＝90°,∴CM＝AD＝AM. 由(1)知,四边形AMCN是平行四边形, ∴平行四边形AMCN是菱形. 6．(2023·汕头澄海区期末)如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,点E是AC的中点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC． 证明:∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠CDE. ∵点E是AC的中点,∴AE＝CE. 在△AFE和△CDE中, ∴△AFE≌△CDE(AAS).∴AF＝CD． 又AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形. (1)求证:四边形ADCF是平行四边形; (2)当∠ACB＝30°时,请判断四边形ADCF的形状,并说明理由. 解:当∠