4.4.3 不同函数增长的差异教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不同函数增长的差异 教学设计 · 教学目标 1．能借助信息技术，通过列表法和图象法，探索并了解不同函数增长速度的各自特点及差异，并总结其中的规律． 2．通过将指数函数与一次函数、对数函数与一次函数作对比，体会类比地研究多个相关联的数学对象的方法和过程． · 教学重难点 · 教学重点：指数函数、一次函数、对数函数各自增长的特点． 教学难点：对“指数爆炸”“直线上过剩”“对数增长”的理解． · 课前准备 PPT课件，计算器，GGB课件． · 教学过程 （一）整体感知，明确任务 引导语：在4.2.1的例2的第（1）小问中，我们进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，这两种增长方式存在很大的差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．那么我们该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？ 师生活动：学生讨论交流后提出研究方案，教师予以补充完善． 预设的答案：一方面可以根据图象进行观察、探索变化趋势，另一方面可以根据数据进行计算、分析变化率．由于我们对线性函数已经有了一定的认识，其变化规律非常直观：它在整个定义域上的变化率恒定，即为定值．所以线性函数可以作为一把尺子，用来“度量”指数函数和对数函数的增长差异．基于以上分析，我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数． 设计意图：函数的表达方式有三种：列表法、图象法和解析式法．在本章，由于学生研究函数增长的工具所限（主要是没有导数工具），所以从解析式无法得出严谨的结论．因此，直观上通过图象得到定性印象，数据上通过不完全归纳变化率得到定量结论． （二）新知探究 1．探究指数函数与一次函数的增长差异 问题1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 追问1：不妨以函数y=2x和y=2x为例，利用计算器列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？ 师生活动：学生独立完成对应值表和图象后展示交流．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条a=2，k=2，在较小范围内展示指数函数y=ax和一次函数y=kx的图象．最后师生一起总结，得出结论． 预设的答案：完成的对应值表如表1，画出的函数图象如图1．从图象上，发现函数y=2x和y=2x有两个交点(1，2)，(2，4)，并且这两个交点将区间[0，+∞)分成了三段，两个函数的图象位置关系在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持不变，而函数y=2x的增长速度在变化． 表1图1 x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 设计意图：先从一个较小的范围开始研究，在区间[0，3]上，可以观察到两个函数的增长虽然有差异，但差异不大． 追问2：通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率，你能发现什么？ 师生活动：学生独立完成，然后展示交流． 预设的答案：完成的变化率表如表2．从数据上，通过计算变化率，发现函数y=2x的变化率恒定，即增长速度保持不变．而函数y=2x的变化率越来越大，即增长速度在增大． 表2 x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 0.828 1 2 1 2 1.172 2 1.5 2.828 1.656 3 2 4 2.344 4 2.5 5.657 3.314 5 3 8 4.686 6 … … … … … 设计意图：通过在小范围在区间[0，3]上的图象获得直观感受后，再从数据上进一步分析，使学生加深印象． 追问3：在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中，画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？ 师生活动：有了前面的经验，借助计算器，教师引导学生共同完成对应值表和图象即可．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第三课时-不同函数增长的差异”，设置滑动条a=2，k=2，改变坐标单位或视窗设置，在较大范围内展示指数函数y=ax和一次函数y=kx的图象．最后师生一起总结，得出结论． 预设