第五章第3节第2课时函数极值导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值 素养目标 学科素养 1. 了解极值、极值点的概念．(重点) 2．理解函数在某点取得极值的条件．(难点) 3．掌握求函数极值的方法步骤．(重点) 1. 数学抽象； 2．直观想象； 3．数学运算 　新知探究 函数的极值、及极值的求法 一、问题提出 （图1） 问题1：观察图1，函数y=f(x)在点a,c的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 1. 极大值、极大值点：一般地, 设函数y=f(x)在x0及其附近有 定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 , 我们说 是函数y=f(x)的一个极大值; 并把 称为函数f(x)的一个极大值点. （从函数值的角度出发定义） 注：从形的角度来看，极大值是函数图像上山顶处的纵坐标，极大值点是函数图像上山顶处的横坐标. 问题2：观察图1，函数y=f(x)在点a,c的导数值是多少? 问题3：在点a,c附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律? 2. 利用导数研究极大值、极大值点： 对于可导函数f(x)， ①若x0满足 ②在 x0附近的左侧 ，右侧 , 那么 是函数f(x)的一个极大值点， 是函数f(x)的一个极大值. 二、类比学习，自主探究 问题4：如图1，函数y=f(x)在点b,d的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 问题5：函数y=f(x)在点b,d的导数值是多少? 问题6：在点b,d附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律? 3. 极小值、极小值点：一般地, 设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值 , 我们说 是函数y=f(x)的一个极小值; 并把 称为函数f(x)的一个极小值点. （从函数值的角度出发定义） 注：从形的角度来看，极大值是图像上山谷处的纵坐标，极大值点是图像上山谷处的横坐标。 4. 利用导数研究极小值、极小值点： 对于可导函数f(x)， ①若x0满足 ②在 x0附近的左侧 ，右侧 , 那么 是函数f(x)的一个极小值点， 是函数f(x)的一个极小值. 注： 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．　　　　 5．极值：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．在定义中, 极值点是 , 极值指的是对应的 . 三、概念辨析，巩固新知 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)极大值就是函数的最大值；(　　 ) (2)函数的极大值比极小值大； (　 ) (3)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (　　) (4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (　　) (5)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．(　　) (6)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　) 注：对极值概念的再理解 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；(5)单调函数一定没有极值．　　　　 4、 典型示范 角度一 　已知函数或导函数的图象判断极值 例1.（1）(多选)如图是函数y＝f(x)的图象，则(　　) A．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值 B．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值 C．y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零 D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 （2）(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则(　　) A．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值 B．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值 C．y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零 D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 变式1 设函数f(x)在R上