第五章第3节第2课时函数极值课件-2023-2024学年高二上学期高中数学人教A版2019选择性必修第二册

5.3.2-1 函 数 的 极 值 1.函数单调性与导数的关系 复习引入 1.还记得高台跳水的例子吗？ h t o 导数的符号有什么变化规律？ 在t=a附近,h(t)先增后减,h, (t)先正后负， h, (t)连续变化,于是有h,(a)=0.h(a)最大。 导数的符号有什么变化规律？ 课堂探究 o a c b x y d e 2.对于一般的函数y=f(x)： 课堂探究 o a c b x y d e 3. 极值及极值点定义 o a c b x y d e 3. 极值及极值点定义 解： 极值点是 ， 其中极大值点是 极小值点是 例题解析 练习巩固 练习巩固 解: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) 因此,当x=-2时有极大值 例2. 当x=2时有极小值, + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 例题解析 令 解得 （1）求函数 的极值 解: x (-∞,-3) -3 (-3,3) 3 (3,+∞) 因此,当x=-3时有极大值 变式2. 当x=3时有极小值, + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 练习巩固 解: 变式 2 练习巩固 可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零. 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件, 其充分条件是在这点两侧的导数异号. 4.思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 3.求解函数极值的一般步骤： (1)求函数的定义域； 左正右负极大值; 左负右正极小值. 解: 例3. 例题解析 求函数 的极值 当 时， 恒成立，即函数在R上单调递增，此时函数无极值. 当 时，令 得 或 + 0 - 0 + ↗ ↗ ↗ 解: 解: ↗ ↗ ↘ o a c b x y d e 四、课堂小结 2.求解函数极值的一般步骤： (1)求函数的定义域； 左正右负极大值; 左负右正极小值. 函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，试找出函数的极值点， 并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点 　变式.(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由f′(x)＞0时，f(x)单调递增，f′(x)＜0时，f(x)单调递减．可知f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．所以选A 变式（2）．(多选)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是 (　　) A．－3是f(x)的一个极小值点 B．－2和－1都是f(x)的极大值点 C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3) 解析：当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时，f′(x)>0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选A、C、D. 变式：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0， 求常数a，b的值． 解：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f′－1＝0，,f－1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0.)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.)) 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上是增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，