第八章第3节第2课时同课异构独立性检验课件-2023-2024学年高二年级下学期高中数学人教A版2019选择性必修第三册

8.3.2 独立性检验 n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c （女）X=1 a+b b a （男）X=0 （长发）Y=1 （短发）Y=0 合计 （头发长短）Y （性别）X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 复习引入 为了研究某校学生头发长短与性别之间的关系，抽样调查了n人得到如下列联表 如何更准确地检验分类变量X和Y的独立性？ (1)提出零假设H0：分类变量X和Y独立 (2) {X=0}与{Y=0}独立 {X=0}与{Y=1}独立 {X=1}与{Y=0}独立 {X=1}与{Y=1}独立 n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (3) 4 为了简便对上面四个量做一下处理，构造出一个方便科学的统计量 (4) 所以我们得到，因为(3)中的四个式子的值都很小，χ2的值也很小 n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 结论： 小的标准怎么刻画？多小才算小？ 注意：χ2 是关于随机样本的随机变量.在零假设H0成立的条件下，即X与Y独立时，数学家们通过计算得到了χ2的概率分布结果，发现χ2取值大的概率很小。例如 结论： 更一般地，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)=α成立，我们称xα为α的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准 10.828 7.879 6.635 3.841 2.706 xα 0.001 0.005 0.01 0.05 0.1 α 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 结论： 独立性检验：在零假设H0(X与Y独立)成立的条件下，χ2的取值很小，满足P(χ2≥xα)=α。以P(χ2≥6.635)=0.01为例，通过样本列联表可以计算出χ2 ： (1)若χ2≥6.635，则概率小于0.01的事情发生了，这是不太可能的。所以推断零假设H0不成立，即变量X和Y相关联。该推断错误，即零假设H0成 立的概率不超过0.01。 (2)当χ2<6.635，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立。 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 例:依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,分析课本126页例1中的抽样数据,能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 解: 零假设为H0:分类变量X与Y相互独立,即两校学生的数学成绩优秀率无差异.因为 计算得到： 根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立, 因此可以认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异. 88 17 71 合计 45 7 38 乙校（X=1） 43 10 33 甲校（X=0） 优秀（Y=1） 不优秀（Y=0） 合计 数学成绩 学校 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 练习.在第24届冬季奥林匹克运动会中，为了解运动员的饮食习惯，对30名运动员的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的列联表：   中餐 西餐 合计 女性 4 8 12 男性 16 2 18 合计 20 10 30 (1)根据列联表中的数据，计算 χ2 (2)依据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断运动员饮食习惯与性别是否有关？ 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 所以依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为零假设不成立，即运动员饮食习惯与性别有关. 零假设为：运动员饮食习惯与性别独立无关联. 由列联表计算 10.828 7.879 6.635 3.841 2.706 xα 0.001 0.005 0.01 0.05 0.1 α 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 14 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 可得χ2＝＝10>7.879＝x0.005， $$