常见数列通项公式的求法讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二《数学》导学案 编制： 审核： 时间： §常见数列通项公式的求法 题型一：观察法求数列通项 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 【题型专练】 【例1】将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______． 【例2】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （2）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______． 【例3】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)，，，； (2)，，，； (3)3，4，3，4； (4)6，66，666，6666． 名师点拨　☞常见数列的通项 (1) 1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2) 2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3) 3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4) 2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5) －1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6) 1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. (7) a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. (8) 9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 题型二：定义法求数列通项 ⑴等差等比定义求通项 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值； ②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法： ①定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； ②等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． ⑵.利用与的关系，依据求出. 已知Sn求an的三个步骤 ①先利用a1＝S1求出a1. ②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． ③对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写 注：an与Sn关系的应用策略 ❶仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”． ❷究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”． ❸值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！ 【题型专练】 1．设等差数列的前项和为，若，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，，则是（    ） A．1 B．3 C． D． 3．设正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．已知等比数列满足，，则（    ） A．1 B． C．3 D． 5．已知数列满足，且，则 . 6．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为. 7．已知数列满足，且，那么 . 8．设是等差数列的前项和，若，，则 . . 题型三：累加法求数列通项 形如型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当为常数时，为等差数列，则； （2） 当为的函数时，用累加法. 方法如下：由得， 当时，， ， ， 以上个等式累加得 （3）已知，，其中可以是关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若可以是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若可以是关于的二次函数，累加后可分组求和； ③若可以是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若可以是关于的分式函数，累加后可裂项求和求和. 【题型专练】 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则 ． 3．已知数列，.以后各项由给出. (1)写出数列的前项； (2)求数列的通项公式. 4． 已知数列满