常见数列求和方法讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二《数学》导学案 编制： 审核： 时间： §常见数列求和方法 题型一：倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 注：倒序求和，多是具有中心对称的 【题型专练】 【例】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【解析】（1）∵点均在函数的图象上，∴． 当时，；当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴． 又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+②，，∴ 题型二：错位相减法求和 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以为例，设其前项和为 ①先将写成项和的形式 （前三后二，等差求出来，等比不要动） ② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列（两边同时乘以公比，后错一位） 发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可 所以 【题型专练】 1．已知等差数列满足，前7项和为 （Ⅰ）求的通项公式 （Ⅱ）设数列满足，求的前项和. 8．数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设数列满足，其前项和为，证明： . 题型三：裂项相消法求和 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型 （1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项; （2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。 （3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。 (4)常见的裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） （4） ④对数型 ⑤幂型 （1） （2） （3） 【例】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：, 即,∴， 显然对于也成立，∴的通项公式； (2) ∴ 【题型专练】 1．数列的通项公式为,若的前n项和为9,则n的值为（    ） A．576 B．99 C．624 D．625 2．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 3．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 题型四：分组转化法 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． 注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ③