7.2.2 单位圆与三角函数线（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.2单位圆与三角函数线 对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法. 1.了解单位圆的概念. 2.能够用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的 三角函数值.（重点、难点） 思考1：角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 探究点1：正弦线与余弦线 α P(x,y) r 思考2：如果选取的点坐标满足，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？ 如图所示，设任意角α与单位圆交于点 ， 则 r = |OP| = 1. 【提示】因为可以化为, 因此，到原点的距离为1. sinα= y 1 = y cosα= x 1 = x x O P(x , y) α终边 满足的点组成的集合称为单位圆.(以原点为圆心，半径为1的圆) y 一般结论：角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标，即 【提示】如图，过Ｐ作ＰＭ垂直x轴于点Ｍ， 可以直观地表示, 称为角的余弦线; 可以直观地表示， 称为角的正弦线. 思考3：你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？ o P（x,y） x M y 追问1：数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？ 【提示】数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负. A B 追问2：角α的余弦值与向量的数量有什么关系？ 的方向与x轴的正方向相同时，表示是正数，则； 的方向与x轴的正方向相反时，表示是负数，则 o x M P（x,y） M 追问3：角α的正弦值与向量 的数量有什么关系？ 的方向与y轴的正方向相同时，表是正数，则； 的方向与y轴的正方向相反时，表示是负数，则 o x M y P（x,y） 正弦、余弦线是向量 正弦、余弦值是数量 x y o P(x , y) α终边 x y o M M P(x,y) 一二象限正、余弦线 α终边 x y o x y o M M 三四象限正、余弦线 P(x , y) P(x , y) 探究点2：正切线 思考1：若是角 终边上一点，角是第一象限角时，仿照前面的结论，如何取点才能用坐标直观地表示. 【提示】如果取点横坐标，则. 过单位圆与x轴正半轴的交点Ａ(1,0)作圆的切线, Ｔ点是直线与α终边的交点． y x o P T A 可以直观地表示,因此 称为角的正切线;若 的方向与y轴正方向相同，则为正，反之为负. 思考2：角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量，使其数量为？ y o α的终边 A1 T1（-1，y1 ） A · x 取T1的坐标为（-1，y1），则 tanα= 追问：能否找到一个以Ａ点为起点在过A 的切线上的向量，使这一向量的数量为 ？ T′ 角终边的反向延长线与切线交点为T′ 一般结论：角α的正切等于角α的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 思考：α终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？数量值是什么？ 【解析】角α的终边在x轴上时,点P与点M 重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为0,而余弦线OM=1或-1. 当角α的终边落在y轴上时,正弦线MP=1或-1,余弦线变成了一点，它表示的数量为零,正切线不存在. 例1 作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切. 【解析】如图，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线，单位圆与轴交于点. 设的终边与单位圆的交点为，过作轴的垂线，垂足为；延长线段，交直线于，则的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . 类似可得到的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . y o M N x 根据直角三角形的知识可知， M o N y x ,,,所以， ,,. ,,所以， ,,. 跟踪训练： 作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切. ,,. ,,. 【解析】的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . 类似可得到的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . 例2 如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为 x 轴，建立平面直角坐标系. 设 O 到地面的高 OT 为 l m，点 P 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 r m，记以 OP 为终边的角为 α rad，点 P 离地面的高度为 h m，试用 l，r 与 α 表示 h. x y O P α T M 【解析】过点作轴的垂