平面向量的最值问题基础练-2024届高考数学一轮基础知识复习

平面向量的最值问题 一、单选题 1．已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为CD线段上一点，且满足（，为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 3．已知平面向量满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．设向量，，满足，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 6．如图，A，B，C三点在半径为l的圆O上运动，M是圆O外一点，且，，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 8．在平面上，，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（    ） A．16 B．12 C．5 D．4 10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 11．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 12．已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ） A． B． C．存在最大值 D．的最大值为 14．已知非零向量，，满足：在方向上的投影向量为，，且，则下列选项正确的有（    ） A．若与共线时，则 B．若时，则与共线 C．若，则 D．若，则 15．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．的最小值为1 D．的最大值为4 三、填空题 16．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是 ． 17．已知，，则的最小值是 . 18．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为 . 19．已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为 ． 20．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ． 21．已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值 四、问答题 22．已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示 (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)若，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值． 参考答案： 1．A 因为向量共面，且均为单位向量，， 可设，，，如图，    所以，当与同向时，此时有最大值，为. 2．D 由，A错误； 由，则， 因为共线，所以，则，B错误； 而，仅当，即时等号成立， 故，即，故的最大值为，C错误； ，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3，D正确. 3．B 设，由，可设， 因为， 其次， 所以 而， 所以， 又因为，所以. 4．A 由两边平方得，又， 则. ，当时取等号. 则与夹角的余弦值的最大值. 5．B 解：建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为， 因为， 所以，化简得， 表示以为圆心，为半径的圆， 则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，    6．D 连接， 由题意可知为圆的直径，所以为的中点， 则，当且仅当同向时取等号， 7．A 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 8．D 根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得 则 又由，得，则，即①. 又，得，则； 同理由，得，即有②. 由①②知，所以. 而，所以. 9．C 如图，延长到D，使得． 因为，所以点P在直线上． 取线段的中点O，连接， 则． 显然当时，取得最小值， 因为，则，所以， 所以的最小值为． 故选：C. 10．A 如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大