专题1.4 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（湘教版）

专题1.4 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】 1 【考点二 巧妙割补求面积】 4 【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】 10 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 13 【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 19 【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 26 【考点七 实际问题中的方程思想】 29 【典型例题】 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】 例题：（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 【变式训练】 1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜边上的高为 ． 2．（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．    3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．    (1)__________，__________，__________； (2)的形状为__________三角形； (3)求中边上的高__________． 【考点二 巧妙割补求面积】 例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【变式训练】 1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.    2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 3．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 4．（2023上·河南周口·八年级校考期中）知识回顾：如图①，中，，，为角平分线，，． （1）若，则，的数量关系是 ； 发现问题： （2）若，则，猜测，，，之间有何关系？ 大胆探究： 如图②，假设，，，，过点分别向，作垂线，垂足分别是，，，过点作，垂足为，． （3）用含有，，的式子的最简结果填空： ， ，则 ； （4）用含有，，的式子的最简结果填空： ， ，则 ； （5）由上述（3），（4）推导过程可以得出，如图①，当平分时， ； （6）小试牛刀：如图③，中，，，，平分，点是的中点，请直接写出的面积．    【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】 例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（       ） A．18 B．24 C．18或24 D．18或30 2．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________． 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 例题：（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图中，，分别以三角形各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当时，阴影部分的面积为 ． 【变式训练】 1．（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．           2．（2023上·福建泉州·八年级南安市实验中学校考阶段练习）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、8、9，则正方形D的面积为 ． 3．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则正方形的面积为 ． 4．（2023下·八年级课时练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 5．（2023下·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾