考点14导数（8种题型7个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

考点14导数（8种题型7个易错考点） 【课程安排细目表】 1、 真题抢先刷，考向提前知 二、考点清单 三、题型方法 四、易错分析 一、 真题抢先刷，考向提前知 一．填空题（共1小题） 1．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　　． 二．解答题（共2小题） 2．（2022•上海）． （1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值． （2）若且，求解不等式． 3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 二、考点清单 一．变化的快慢与变化率 1、平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝． 2、瞬时变化率： 变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率． 3、导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0）＝ 【解题方法点拨】 瞬时速度特别提醒： ①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值． ②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限， 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒： ①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数． ②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0． ③在点x＝x0处的导数的定义可变形为： f′（x0）＝或f′（x0）＝ 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）＝； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 二．导数及其几何意义 1、导数的定义 如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数． 2、导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝． 【解题方法点拨】 （1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）． （2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． （3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点， （4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行． 三．极限及其运算 1．数列极限 （1）数列极限的表示方法： （2）几个常用极限： ③对于任意实常数， 当|a|＜1时，an＝0， 当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在 当|a|＞1时，an＝不存在． （3）数列极限的四则运算法则： 如果，那么 特别地，如果C是常数，那么． （4）