专题09：空间几何体的表面积和体积-2024年广东省高三数学二轮复习讲义

2024届高三二轮复习第9讲：空间几何体表面积和体积原卷版 2023年考情 考题示例 考点 关联考点 2023年新I卷，第12题 球、圆柱、棱柱的性质 无 2023年新I卷，第14题 棱台的体积 无 2023年新Ⅱ卷，第9题 圆锥的侧面积和体积 二面角 2023年天津卷，第8题 三棱锥的体积 无 2023年乙卷文科，第16题 球的性质 线面垂直 2023年乙卷文科，第19题（2） 三棱锥的体积 无 2023年甲卷理科，第11题 四棱锥 无 2023年甲卷理科，第15题 球和正方体的性质 无 2023年甲卷文科，第10题 三棱锥的体积 无 2023年甲卷文科，第18题（2） 四棱锥的高求法 四棱锥的体积 题型一：多面体的表面积和体积 【典例例题】 例1. （2023春·广东省东莞实验中学高三一模）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【变式训练】 1.（2023春·广东省大湾区高三第二次联考）如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______． 2.（2023春·广东省高三二模） 已知直四棱柱的棱长均为2，，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为______． 3.（2023秋·广东省深圳市高三模拟）（多选）已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的体积为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 题型二：旋转体的表面积和体积 【典例例题】 例1.（2023春·广东省高三一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【变式训练】 1.（2023春·广东省高三二模）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2.（2023春·广东省潮州市高三二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 3.（2023春·广东省佛山市高三二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ） （参考数据：，，，） A. B. C. D. 4.（2023春·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三二模） 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ） A. B. C. D. 题型三：球的表面积和体积 【典例例题】 例1.（2023春·广东省高三一模）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【变式训练】 1.（2023春·广东省广州市高三一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2.（2023春·广东省江门市高三一模）（多选） 勒洛Franz Reuleaux（1829～