第02讲 立方根与开立方 n次方根（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学下册同步学与练（沪教版）

第02讲 立方根与开立方 n次方根（八大题型） 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 3.类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念； 4.掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根。 知识点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点三、立方根的性质 要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点五、n次方根 （1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根； 正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±”；其中为a的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a叫被开方数，n为根指数；读作“n次根号a”。 0的偶次方根等于0，=0； 负数没有偶次方根（即当a<0时，无意义）。 （2）当n为奇数时，a的n次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a的奇次方根；记作：”，a叫被开方数，n为根指数；“”读作“n次根号a”。 任意实数a的奇次方根都存在，并且与a有相同的正负性。 题型1：立方根的概念与辨析 【典例1】．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．立方根是等于其本身的数为 C．没有立方根 D．的立方根是 【典例2】．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C． D．的立方根是 【典例4】．如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（　　） A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根 【典例5】．的立方根是（　　） A．8 B．-8 C．2 D．-2 【典例6】．下列说法正确的是（    ） A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何一个数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 题型2：求一个数的立方根 【典例7】．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【典例8】．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 题型3：立方根的性质 【典例9】．若，则m与n的关系是（    ）． A． B． C． D． 【典例10】．若与互为相反数，则的值为（    ）． A． B． C． D． 题型4：立方根与平方根结合 【典例11】．已知，则的平方根为（  ） A． B． C． D． 【典例12】．若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是(   ) A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1 【典例13】．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【典例14】．若，则的值是（    ） A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3 【典例15】．已知的算术平方根是3，的立方根是2，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【典例16】．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型5：立方根的实际应用 【典例17】．体积为4的正方体的棱长是（    ） A．4的平方 B．4的平方根 C．4的立方根 D．4的算术平方根 【典例18】．一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（    ） A．20 B．200 C．40 D． 【典例19】．随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（      ） A．50 B．60 C．70 D．40 题型6：