小结与复习：集合与常用逻辑用语学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第10课时 小结与复习：集合与常用逻辑用语 重点回顾 1．集合的有关概念 （1）满足某种条件的对象的全体叫集合 （2）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性 （3）集合的分类：有限集、无限集 （4）不含任何元素的集合叫空集 2．元素与集合、集合与集合之间的关系 （1）元素与集合：“”或“”. （2）集合与集合：包含关系、相等关系 3．集合的运算 （1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫集合与集合的交集，记为，即 （2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫集合与集合的并集，记为，即 （3）补集：一般地，对于一个集合，由全集中不属于集合的元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即 4．充分条件、必要条件、充要条件 （1）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法或集合法来判断 （2）已知命题是条件，命题是结论 ①充分条件：若，则是的充分条件。所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不需要其他条件了 ②必要条件：若，则是的必要条件。所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须有的、必要的，当然，还有可能需要其他条件 ③充要条件：若，且，则是的充要条件 5．全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示 全称量词命题：含有全称量词的命题，其结构一般为 全称量词命题的否定 （2）存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示 存在量词命题：含有存在量词的命题，其结构一般为 存在量词命题的否定 复习提升 1．函数与方程的思想 函数思想就是利用运动变化的观点分析具体问题中变量间的关系，并通过函数的形式表示出来，再加以研究，从而使问题获解。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程，然后通过研究方程使问题获解。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想 例1：已知，集合，，若，求B 2. 数形结合的思想 数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合的思想通过“以形助数，以数思形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的. 例2 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店： （1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？ （2)这三天售出的商品最少有多少种？ 3. 分类与整合的思想 分类与整合就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答.分类与整合的思想就是化整为零、各个击破，再积零为整的思想. 例3 已知. 若, 求实数的取值范围. 4. 化归与转化的思想 化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时，借助数学知识和数学方法，将问题进行转化，使抽象问题具体化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，进而解决问题的数学思想. 例4已知. （1)若是的必要条件，求实数的取值范围； （2)是否存在实数, 使是的充要条件？ 5. 特殊与一般的思想 一些数学问题的研究，可以通过对问题的特殊情形的研究，逐渐加深对问题的了解，进而发现特点，探寻规律，形成一般结论.这种由浅入深、由现象到本质、由局部到整体的研究方法是特殊与一般思想的本质. 例5设集合, 是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数. 记满足条件的集合对的个数为. （1)求, 的值； （2)你能猜测的表达式吗？（本小题有难度，请感兴趣的同学自行尝试） 基础训练 一、选择题 1. 设集合,集合, 则集合中所有元素的和为( ). A. B. C. D. 2. 定义,若, 则为( ). A. B. C. D. 3. 设, 则集合中的元素个数是( ). A. B. C. D.以上都不对 4. 已知集合, 若, 则有( ). A. B. C. D. 5. 设数集,且都是集合的子集. 如果把称为集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ）. A. B.