1.4.2充要条件学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第7课时 充要条件 学习目标 1．理解充要条件的意义，理解命题的等价性 2．学会用等价符号求解充要条件的问题 要点精讲 1．充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”都是真命题，即既有，又有，就记作，此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件 2．证明充要条件的思路 证明是的充要条件时，要从充分性和必要性两个方面分别证明 （1）充分性：把当成已知条件，结合命题的前提，推出； （2）必要性：把当成已知条件，结合命题的前提，推出. 范例分析 例1：分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 例2：已知非零实数，，，试探求的充要条件，并加以证明. 例3：如图，求证：梯形为等腰梯形的充要条件是. 例4：已知关于的方程，其中，. （1）当，满足什么条件时，方程的解集中恰有3个元素？ （2）试求方程解集中的元素恰好为直角三角形的三边长的充要条件. 【知识迁移】 设为的三边长，求证：当且仅当时，方程与有公共根. 【思维启迪】若是方程，的根，则也是方程的根. 规律总结 探求充要条件的方法 1．先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立 2．变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件 基础训练 1．有下列说法：①是的充要条件；②是的充要条件；③是的充要条件，其中正确的说法有（ ）个. A． B． C． D． 2．二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是（ ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程有一个根为1，，则是的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，是的三边长，，是等边三角形，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若实数，满足，，且，则称与互补.记，那么是与互补的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．已知集合，，则的充要条件是 . 7．已知，，且是的充要条件，则实数的取值集合是 . 8．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 . 三、解答题 9．已知，求证：当且仅当时， 10．已知关于的一元二次方程： ①；②， 求使方程①②都有实数根的充要条件 能力提高 11．已知，对于区间上的一切值，恒成立；，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知，，是的三边长，且.我们知道，为直角三角形的充要条件是，请利用边长，，分别给出为锐角三角形和钝角三角形的充要条件，并加以证明 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课时 充要条件 学习目标 1．理解充要条件的意义，理解命题的等价性 2．学会用等价符号求解充要条件的问题 要点精讲 1．充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”都是真命题，即既有，又有，就记作，此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件 2．证明充要条件的思路 证明是的充要条件时，要从充分性和必要性两个方面分别证明 （1）充分性：把当成已知条件，结合命题的前提，推出； （2）必要性：把当成已知条件，结合命题的前提，推出. 范例分析 例1：分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 【例1】解：“两个三角形全等”的充要条件如下： ①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等. “两个三角形相似”的充要条件如下： ①三个(或两个)内角对应相等；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等. 例2：已知非零实数，，，试探求的充要条件，并加以证明. 【例2】解：必要性.由，得，因为，所以使成立的必要条件是. 充分性.当且时，，所以. 综上，所求的充要条件是. 例3：如图，求证：梯形为等腰梯形的充要条件是. 【例3】解：(1)必要性. 在等腰梯形中，，， 为公共边，所以，故. (2)充分性.如图，过点作，交的延长线于点. 因为，所以四边形为平行四边形，可知，.又，所以，可知，从而，可得，所以，即梯形为等腰梯形. 由(1)(2)可知，梯形为等腰梯形的充要条件是. 例4：已知关于的方程，其中，. （1）当，满足什么条件时，方程的解集中恰有3个元素？ （2）试求方程解集中的元素恰好为直角三角形的三边长的充要条件. 解：（1）方程的解集中恰有3个元素 有两个不等的实数根，有两个相等的实数根 有两个相等的实数根 . 所以当时，方程的解集中恰有3个元素. （2） 方程的两根分别为，， 方程的一根为， 由题意，，方程解集中的元素恰好为直角三角