集合中元素的个数 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5课时 集合中元素的个数 学习目标 1．能结合韦恩图计算有限集合中元素的个数和有限集合子集的个数. 2．能根据集合的新定义，研究有限集合中元素的个数问题. 要点精讲 1．有限集合子集的个数 含个元素的集合的子集个数为个，其中非空子集有个，真子集也有个. 2．有限集合中元素的个数 借助韦恩图，有限集合中元素的个数有以下性质：对任意两个有限集合，，有 . 进一步还可以推广为：设为有限集，则 . 评注：当某些对象的数目从整体上计算有困难时，考虑将整体分解为部分，但当部分中的公共元素产生重复计数时，就得将重复计算的部分减去，这种“多还少补”的工作准则称为容斥原理，它是十九世纪英国数学家西尔维斯特提出的. 范例分析 例1：（1）设集合，在上定义运算“”为：，其中为被除的余数，. 则满足关系式的个数为（ ）. A． B． C． D． （2）设，是有限集合，定义：，其中表示有限集合中的元素个数. 则下列结论中不一定正确的是（ ）. A． B． C． D． 例2：（1）非空集合满足：①，；②若，则，求同时满足①和②的非空集合的个数； （2） 设，，且，集合，，若，且，求满足条件的集合的个数. 例3：（1）求满足的集合的个数； （2）求满足的集合中的所有元素之和. 例4：（1）给出一个自然数，把所有小于且与互质的自然数的个数用表示，求证：当时，一定是偶数； （2） 在数论上称小于且与互质的自然数的个数为欧拉函数，试求的值. 评注：一般地，若，，，，是不同的质数，，，，是正整数，则有： . 以上也称欧拉公式. 利用这个公式，得. 【知能迁移】：在集合中，不能被3和5整除的数共有多少个？ 【思维启迪】：根据容斥原理求解. 规律总结 集合的新定义问题的解决方法 1．紧扣新定义. 首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中. 2．用好集合的性质. 集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口. 基础训练 1、 选择题 1．设集合，，则满足的集合的个数是（ ）. A． B． C． D． 2．定义集合，若，，则的子集个数为（ ）. A． B． C． D． 3．已知集合，，，则整数对的个数为（ ）. A． B． C． D． 4．某地对农户抽样调查结果如下：汽车拥有率为，空调拥有率为，手提电脑拥有率为，至少拥有上述三种物品中的两种的占，三种物品齐全的占，那么三种物品中一种也没有的农户所占比例为（ ）. A． B． C． D． 5．若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且当时，，则称集合是“好集”. 给出下列说法： ①集合是“好集”；②有理数集是“好集”；③设集合是“好集”，若，，则. 其中正确的说法是（ ）. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 6．满足的集合有 个. 7．若集合，，则集合中元素的个数为 . 8．已知集合，给出下列四个关系：①；②；③；④，其中，有且只有一个是正确的. 请写出满足上述条件的一个有序数组 ，符合条件的全部有序数组的个数是 . 三、解答题 9．设集合，，求. 10．某班共有人参加数学、物理、化学三个兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有人，参加化学兴趣小组的有人，参加物理兴趣小组的有人，同时参加数学、物理兴趣小组的有人，同时参加数学化学兴趣小组的有人，三个兴趣小组都参加的有人. 同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？ 能力提高 11．已知由个元素构成的集合，记的所有非空子集为，，，，每一个中所有元素的积为，则 . 12．（1）设集合，的并集，当时，与视为不同的集合对，试求满足条件的对的个数； （2）若集合，的并集，那么满足条件的对的个数是多少？当时，猜想满足条件的对的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时 集合中元素的个数 学习目标 1．能结合韦恩图计算有限集合中元素的个数和有限集合子集的个数. 2．能根据集合的新定义，研究有限集合中元素的个数问题. 要点精讲 1．有限集合子集的个数 含个元素的集合的子集个数为个，其中非空子集有个，真子集也有个. 2．有限集合中元素的个数 借助韦恩图，有限集合中元素的个数有以下性质：对任意两个有限集合，，有 . 进一步还可以推广为：设为有限集，则 . 评注：当某些对象的数目从整体上计算有困难时，考虑将整体分解为部分，但当部分中的公共元素产生重复计数时，就得将重复计算的部分减去，这种“多还少补”的工作准则称为容斥原理，它是十九世纪英国数学家西尔维斯特提出的. 范例分析