第一章 直角三角形（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第一章 直角三角形（知识归纳+题型突破） 1、理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． 2、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 3、探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理． 4、了解三角形重心的概念． 5、能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形． 6、理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 1.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.三角形全等的判定公理：斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）. 4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上. 5.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 勾股定理是直角三角形具备的重要性质。 题型一 直角三角形的性质与判定 【例1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，点P、Q是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A出发沿线段运动，点Q从顶点B出发沿线段运动，它们的速度都为，其中一点到达终点后停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为（　　） A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6 巩固训练： 1．（湖南省湘西州2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形．若是的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·广东肇庆·八年级统考期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024上·河北保定·九年级统考期末）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024上·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考阶段练习）如图，中，，是的中点，，则 ． 7．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）如图，为等边三角形，，M、N分别同时从A、B出发，沿箭头所示方向在射线、射线上运动，且它们的运动速度都为1；、交于P； （1）若M、N在的边上运动的过程中，则 ； （2）经过 秒时，为直角三角形． 8．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 9．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    10．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是 ． 11．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，中，，现有两点分别从点，点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，同时停止运动． (1)当点运动几秒时，两点重合？ (2)当点运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)请直接写出点运动几秒时，可得到直角三角形？ 12．（2023上·全国·八年级期末）已知中，，，直线经过点，作于，于． (1)当直线在外部时（图（），求证：； (2)当直线在内部时（图（），猜想线段，与之间又有怎样的关系．证明你的结论； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求四边形的面积． 13．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）在等腰中，，，为边上一点，