专题03 二项式定理 （1个知识点3个拓展2个突破7种题型4个易错点）-2023-2024学年高二数学倍速学习法核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第三册）

专题03二项式定理 （1个知识点3个拓展2个突破7种题型4个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.二项式定理 拓展1.求二项展开式的特定项 拓展2.二项式系数的性质与赋值问题 拓展3.多项式的展开式问题 突破1.展开式系数最大项问题 突破2.与二项式定理有关的问题 【方法二】 实例探索法 题型1.二项展开式中的特定项、项的系数 题型2.多个二项展开式中的特定项、项的系数 题型3.二项式系数的对称性与增减性 题型4二项式系数和 题型5.展开式系数的和 题型6.与杨辉三角有关的问题 题型7.二项式定理的应用（整除问题） 【方法三】差异对比法 易错点1.未能正确理解二项展开式中的项与项数 易错点2.未能正确转化三项式问题而致误 易错点3.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项致误 易错点4.混淆二项式系数与展开式系数致误 【方法四】 成果评定法 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.二项式定理 一、　二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 二、　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 三、二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 例1．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 拓展1.求二项展开式的特定项 1．（2024·全国·模拟预测）二项式的展开式中，项的系数是 ． 拓展2.二项式系数的性质与赋值问题 2．单选题（2024上·黑龙江·高二校联考期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 拓展3.多项式的展开式问题 3．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展开式中，的系数是 . 突破1.展开式系数最大项问题 1．多选题（2024上·辽宁丹东·高二统考期末）已知二项式的展开式中，则（    ） A．含项的系数为6 B．第5项为常数项 C．各项系数和为64 D．第3项的二项式系数最大 突破2.与二项式定理有关的问题 2．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 【方法二】实例探索法 题型1.二项展开式中的特定项、项的系数 1．（2024上·上海·高二校考期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 题型2.多个二项展开式中的特定项、项的系数 2．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）若多项式，则 ． 题型3.二项式系数的对称性与增减性 3．（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，，，且满足． (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中所有有理项． 题型4二项式系数和 4．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ． 题型5.展开式系数的和 5．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 题型6.与杨辉三角有关的问题 6．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 题型7.二项式定理的应用（整除问题） 7．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 【方法三】差异对比法 易错点1.未能