重难点专题05 三角形中的范围与最值问题-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题05 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五： 倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【典例例题】 题型一：周长问题 【例1】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)若，求的周长最小值. 【变式1-1】（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）在锐角中，， ， （1）求角； （2）求的周长l的范围. 注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解. 【变式1-2】（2024·山西运城·高二校考阶段练习）在锐角中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若，求周长的范围. 【变式1-3】（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围. 题型二：面积问题 【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 【变式2-1】（2024·河南开封·高二校联考期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：． (1)求角的大小； (2)若时，求面积的范围． 【变式2-2】（2024·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值． 【变式2-3】（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 题型三：长度问题 【例3】（2024·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知，且角有两解，求的范围. 【变式3-1】（2024·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的值； (2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围． 【变式3-2】（2024·河南濮阳·高二校联考期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥． (1)求角B的大小； (2)若b＝，求a＋c的范围． 【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别是，且满足，则的最大值为 . 【变式3-4】（2024·贵州黔东南·高二统考期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 . 题型四：转化为角范围问题 【例4】（2024·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）在，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列. (1)证明：成等差数列； (2)求角B的范围. 【变式4-1】（2024·浙江嘉兴·高二校考期中）在中，内角、、所对的边分别为、、.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求角的大小； （3）求的范围. 【变式4-2】（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足． (1)判断角B与角C的关系，并说明理由； (2)若，求的范围． 【变式4-3】（2024·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 题型五： 倍角问题 【例5】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的