第七章平面图形的认识二：平行线中的常见模型2023-2024学年苏科版七年级数学下册

七年级下册 平面图形的认识（二）： 专题： 平行线中的常见四大模型 学科网（北京）股份有限公司 专题：平行线中的常见模型 模型一：“猪蹄”模型（也称“M”模型） 模型一“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 典型例题 例1：如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 例2：如图，AD∥CE，∠ABC＝95°，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．105° B．95° C．85° D．75° 例3：如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，求∠2的度数． ☆模型拓展：M叠M型 例4：如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为 　． 例5：如图，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 例6：如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为　　． 例7：如图，直线l1∥l2，点∠α、∠β夹在两平行线之间． （1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数； （2）直接写出∠1、∠2、∠α、∠β之间的数量关系，不用说明理由． ☆模型拓展：M套M型 例8：（1）如图1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD， 求证：∠AFC=∠AEC； （2）如图2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC； （3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是 　 　（用含有n的代数式表示，不证明）． 例9：如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…， 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． （1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE； （2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC； （3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）． 模型二：“铅笔”模型（也称“U”型模型） 模型二：“铅笔”模型（“U”型） 点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 典型例题 例1：一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝　 　度． 例2：如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝　 　． 例3：如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE． （1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明； （2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F． ①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系． 例4：如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F． （1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数； （2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论． 例5：实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n． （1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝　　 ，∠3＝　　 ； （2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝　　 ； （3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明） 例6：如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点． （1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝　 　； （2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°； （3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数． 模型三：“抬头”模型（也