（新课衔接）专题04 圆锥的体积—2023-2024学年六年级数学寒假学习精讲练（学生版+教师版）北师大版

2023-2024学年北师大版数学六年级寒假学习精讲练讲义 专题04 圆锥的体积 1.通过具体情景观察、实物感知等活动,感受物体体积的大小,发展空间观念。 2.经历“猜想与验证”探索圆锥体积计算方法的过程,掌握圆锥体的计算方法,能正确计算圆锥的体积,能运用圆锥体积计算方法解决一些简单的实际问题。 【重点】　掌握圆锥体积的计算公式,能运用圆锥体积公式解决实际问题。 【难点】　理解圆锥的体积公式的推导过程。 1.圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积＝×底面积×高。 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为： V=Sh 3.圆锥体积公式的应用： （1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh （2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用πr²h （3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用π(d÷2)2h （4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用π(C÷π÷2)2h 知识点01：圆锥的体积 【典例讲解】（2023•长沙）如图，有底面积和高都相等的圆柱和圆锥形饮料杯共三个，正好能装600毫升果汁。这个圆柱形饮料杯的容积是（　　）毫升 A．120 B．360 C．150 D．300 【思路点拨】结合图示可知：等底等高的1个圆柱和2个圆锥形饮料杯，正好能装果汁600毫升，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，可假设每个圆锥形饮料杯的容积为x毫升，则圆柱形饮料杯的容积为3x毫升，根据等量关系：1个圆柱形饮料杯的容积+2个圆锥形饮料杯的容积＝600毫升，可列方程：3x+2×x＝600；先求得圆锥形饮料杯的容积，再乘3，就是圆柱形饮料杯的容积。 【规范解答】解：设圆锥形饮料杯的容积为x毫升，则圆柱形饮料杯的容积为3x毫升，由题意得， 3x+2×x＝600 3x+2x＝600 5x＝600 x＝600÷5 x＝120 3×120＝360（毫升） 这个圆柱形饮料杯的容积是360毫升。 故选：B。 【考点评析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，需要利用这个关系列出方程求解。 【变式训练1-1】（2023•芗城区）如图中两个杯子的杯口直径相同，若把圆锥形杯子装满水倒入圆柱形杯子中，则水面高（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【变式训练1-2】（2022•五指山）把一个底面半径3厘米，高12厘米的铁圆锥投入下面容器中，水面会上升多少厘米？ 【变式训练1-3】（2023•椒江区）直角三角形ABC，其中AB：AC＝2：1，以AB为轴旋转一周得到立体图形甲，以AC为轴旋转一周得到立体图形乙。 小红：甲和乙的体积之比是2：1； 小明：甲和乙的体积之比是4：1； 你同意谁的观点？请说明理由。 【变式训练1-4】（2023•湖滨区）学习了“测量不规则物体体积”后，张亮和李明用圆柱形玻璃容器测量一个圆锥形铅锤的体积。实验步骤如下： （1）测量记录圆柱形容器的底面直径是10cm； （2）把铅锤放入容器中，直到把铅锤浸没，测量记录此时水面高度为14cm； （3）取出容器中的铅锤，测量记录此时水面高度10cm； 请你根据实验数据算一算这个圆锥形铅锤的体积。如果这个铅锤的高是6cm，那么它的底面积是多少cm2？ 知识点02：组合图形的体积 【典例讲解】（2023•新华区）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了40cm2，原来这个物体的体积是（　　） A．160cm3 B．180cm3 C．240cm3 D．320cm3 【思路点拨】根据题意可知，如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了40平方厘米，表面积增加的是两个底面的面积，据此可以求出一个底面的面积，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：40÷2＝20（平方厘米） 20×6+×20×6 ＝120+40 ＝160（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是160立方厘米。 故选：A。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式训练2-1】（2023•密云区）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。 （1）要解决火箭助推器模型的体积是多少立方厘米。下面是三位同学的做法，你认为谁做的正确，请在同学名字后面打√。 （2）请你选择一种正确的方法，写出解题思路。 我选择的是