2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 2．如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求． 3．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求长． 4．如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，求的长． 5．如图，为的直径．点在圆上，是的平分线交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 6．如图，是圆的直径，A在的延长线上，，弦垂直于于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径及的值． 7．如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 8．如图，在中，，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且． (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 9．如图，在等腰中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过上的点，分别交，于点，，点是弧的中点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 11．如图，在菱形中，O是对角线上一点，，垂足为E，为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若G是的中点，，，求的长． 12．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 13．如图，在中，，为的平分线，交于点，的外接圆与边相交于点，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 14．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 15．如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． (1)求证：是的切线． (2)若，求点到弦的距离． 16．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线． 17．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交 的延长线于点E，延长到点F，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长. 18．已知：如图，在中，＝，以为直径的与边相交于点，，垂足为点． (1)求证：点是的中点； (2)求证：是的切线； (3)若的直径为，＝，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理： （1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； （2）利用勾股定理求得，再推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴，即． 又点在上， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 即． ∵， ∴， 即的半径长为． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识： （1）连接，由，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）由勾股定理得，而，所以，求得，则． 【详解】（1）连接，则，    ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 解得， ∴， ∴的长是 3．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由等边对等角，角平分线可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴的长为8． 【点睛】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，