精品解析：上海市宝山区上海交大附中2024届高三上学期期末数学试题

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期 高三数学期末测试卷 一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 抛物线焦点坐标是______. 2. 设集合，集合，则__________. 3. 方程的解是________． 4. 设i是虚数单位，则复数的虚部是________． 5. 函数的最小正周期为4，则____________． 6. 已知随机变量分布为，则__________. 7 已知空间向量.若四点共面，则__________. 8. 已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为__________. 9. 在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项） ①新数据的极差可能等于原数据的极差. ②新数据中位数可能等于原数据的中位数. ③若，则新数据的方差一定大于原数据方差. ④若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数. 10. 已知正项数列的前项和满足（为正整数）.记，若函数的值域为，则实数的取值范围是__________. 11. 函数在区间上存在零点，则的最小值为_________. 12. 若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是__________. 二､选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线AE是共面直线 C. 直线AE与直线是异面直线 D. 直线AE与直线是共面直线 15. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. 事件与事件不相互独立 D. 、、两两互斥 16. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（ ） A. 命题①正确；命题②错误. B. 命题①错误；命题②正确. C. 命题①，②均正确. D. 命题①，②均错误. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求. 18. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）. （1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； （2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 19. 已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧. （1）若直线过点，求椭圆方程； （2）求证：定值. 20. 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）. （1）当点是棱的中点时，求证：直线平面； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 21. 已知数列满足. （1）若，求最小正数的值，使数列为等差数列； （2）若，求证：； （3）对于（2）中的数列，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期 高三数学期末测试卷 一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线标准方程为， 所以焦点坐标为， 故答案为：.