7.2.3 同角三角函数的基本关系式（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课程标准 学习目标 （1）理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； （2）会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。 （1）通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养； （2）通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。 知识点01 同角三角函数基本关系式 1、平方关系 （1）公式： （2）文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系 （1）公式： （2）文字描述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 3、对公式的理解 （1） “同角”有两层含义：一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）解下列各题： （1）已知，且为第一象限角，求和的值． （2）已知，且为第三象限角，求和的值． （3）已知，且为第二象限角，求和的值． 知识点02 对同角公式的变形 1、公式的基础变形 （1）的变形公式有：； （2）的变形公式有：； 2、与之间的的转化 （1）； （2）； （3）； （4） 【即学即练2】（2023·全国·高一期末）设，则（ ） A． B． C． D． 【题型一：sina、cosa、tana知一求二】 例1．（2023·河南·高一镇平县第一高级中学校联考阶段练习）已知，且为第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（2023·福建福州·高一校考阶段练习）已知A是三角形内角，且，则 ． 变式1-2．（2023·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）（1）若，求和的值； （2）若，求的值. 变式1-3．（2023·高一课时练习）下列四个命题中，可能成立的是（ ） A．，且； B．，且； C．，且； D．，且． 【方法技巧与总结】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 （1）若已知，可以先应用公式，求得，再由公式，求得的值； （2）若已知，可以先应用公式，求得，再由公式，求得的值； （3）若已知，可以先应用公式及，求得，。 【题型二：正、余弦齐次式的应用】 例2．（2023·福建泉州·高一泉州市泉港区第一中学校联考阶段练习）已知，则等于（ ） A． B．2 C．0 D． 变式2-1．（2023·山东烟台·高一校考期末）已知． （1）求的值； （2）的值． 变式2-2．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知点为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 变式2-3．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知， （1）求的值； （2）求的值． 【方法技巧与总结】 化切求值的方法技巧： （1）对分式齐次式，因为，一般可在分子和分母中同时除以，使所求代数式化为关于的代数式，从而得解； （2）对整式（一般是指关于）齐次式，把分母看为“1”，用替换“1”，从而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以，即可得到关于的代数式，从而得解。 【题型三：sina±cosa、sina·cosa关系应用】 例3．（2023·全国·高一随堂练习）已知，求的值． 变式3-1．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知，，则的值为 . 变式3-2．（2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求方程的两根及的值． 变式3-3．（2023·天津·高一校考阶段练习）已知，其中是的一个内角． （1）求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形； （2）求的值． 【方法技巧与总结】 ，，三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：。求解过程中需注意三角函数值的符号。 【题型四：三角函数化简求值问题】 例4．（2023·全国·高一随堂练习）化简． （1）; （2） 变式4-1．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值 （1）； （2）． 变式4-2．（2023·全国·