7.2.2 单位圆与三角函数线（2知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

7.2.2 单位圆与三角函数线 课程标准 学习目标 会用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切。 （1）了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦、正切； （2）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。 知识点01 正弦线与余弦线 1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图， 则，，，则角的终边与单位圆的交点为 2、三角函数线综合图示 （1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为； （2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。 3、正弦线的定义：为角的正弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 4、余弦线的定义：为角的余弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 【即学即练1】（2023·高一课时练习）已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（ ） A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 知识点02 正切线 1、正切线的定义：为角的正切线 当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。 2、三角函数线的特征 （1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外； （2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点； （3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”； （4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为 【即学即练2】（2023·江苏·高一专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ） A．正弦线为，正切线为 B．正弦线为，正切线为 C．正弦线为，正切线为 D．正弦线为，正切线为 【题型一：三角函数线的作法】 例1．（2023·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）. 变式1-1．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）. 变式1-2．（2022·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2）； （3）； （4）． 变式1-3．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线： （1）； （2）； （3）； （4）． 【方法技巧与总结】 三角函数线的画法 （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线； （2）作正切弦时，过点引轴的垂线，交的终边（为第一或第四象限角）或终边的反向延长线（为第二或第三象限角）于点，即可得到正切线 【题型二：利用三角函数线比较大小】 例2．（2023·高一课时练习）如果、分别是角的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2-1．（2022·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）若，，，则（ ） A． B． C． D． 变式2-3．（2022上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）（多选）已知，那么下列命题正确的是（ ） A．若角、是第一象限角，则 B．若角、是第二象限角，则 C．若角、是第三象限角，则 D．若角、是第四象限角，则 【方法技巧与总结】 画出三角函数线，通过比较三角函数线的大小从而确定三角函数值的大小 【题型三：利用三角函数线解三角不等式】 例3．（2023·湖北·高一校考阶段练习）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（ ） A． B． C． D．∪ 变式3-1．（2023·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合： （1）且； （2）． 变式3-2．（2020·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）. A． B． C．