专题08 三角函数的图象与性质 讲义——2024届高三数学二轮复习

专题08·三角函数的图象与性质 命题规律 三角函数的图象与性质一直是高考的必考内容，也是高考热点内容，在三角函数图象中，对整个图象的性质影响巨大。因此近年高考中对ω的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，所以对的取值范围的系统研究，找到解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助。 题型归纳 题型1 三角函数图象平移 【解题技巧】 1．平移后与原图象重合：①平移长度即为原函数周期的整倍数；②平移前的函数=平移后的函数. 2．平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3．平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数． 4．平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-． 5．平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【例1】（2023•东莞市模拟）将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图像向右平移个单位长度得到的图像与原图像重合，则ω的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】由题有，据此可得答案． 【解答】解：根据题意，由题有， 则，得ω＝3k，k∈Z，又因为ω＞0，得ω＝3． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 【例2】（2023•河南模拟）已知函数的最小正周期为T，若，把f（x）的图象向左平移个单位长度，得到奇函数g（x）的图象，则（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】依题意，可求得A＝2，ω，从而可得f（x）的解析式，进而可得的值． 【解答】解：函数的最小正周期T， ∵f（）＝Asin（ω•）A，∴A＝2； 又g（x）＝f（x）＝2sin[ω（x）]＝2sin（ωx）为奇函数， ∴kπ（k∈Z），∴ω＝2k， 又0＜ω＜3，∴当k＝1时，ω适合题意，∴f（x）＝2sin（x）， ∴2sin[（）]＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，求得A与ω是关键，也是难点，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题． 题型2 三角函数单调性 【解题技巧】 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围． 1．根据区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，即，求得. 2．以单调递增为例，利用，解得的范围； 3．结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围． 【例1】（2022•宣城模拟）已知函数f（x）＝sinωxcosωx﹣sin2ωx（ω＞0），若函数f（x）在上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】解：f（x）＝sinωxcosωx﹣sin2ωx2ωx； 由于（k∈Z），整理得（k∈Z）， 函数f（x）在上单调递减，故，（k∈Z）， 故，整理得：ω． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 【例2】（2022•凯里市校级开学）已知函数f（x）sin（ωx）cos（ωx）﹣cos2（ωx），（ω＞0），则下列选项中正确的是　　． ①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min，则ω＝2： ②若函数f（x）在[0，π]上恰有4个零点，则ω的取值范围是[，） ③存在w∈（0，2），使得函数f（x）的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称； ④若f（x）在区间[，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，] 【分析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：对于函数f（x）sin（ωx）cos（ωx）﹣cos2（ωx）sin（2ωx）cos（2ωx）＝sin（2ωx）＝sin（2ωx），（ω＞0）， 若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min，则ω＝1，故①错误； ②若函数f（x）＝sin（2ωx），在[0，π]上恰有4个零点，2ωx∈[，2ωπ]， 则4π≤2ωπ5π，求得ω， 则ω的取值范围是[，），故②正确； 把函数f（x）的图像向右平移个单位长度后，得到y＝sin（2ωx）的图像， 由于所得图象关于y轴对称，可得kπ，k∈Z，即ω＝﹣3k﹣1， 故当k＝﹣1时，ω取得最小值为2，故③错误； ④若f（x）在区间[，]上单调递增，∵2ωx∈[，]， ∴，∴ω，即ω的取值范围为（0，]，故④正确， 故选：②④． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 题型3 三角函数零点 【解题技巧】 已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围． 对于