2024年中考数学专题训练： 圆的证明

2024年人教版九年级数学中考专题训练: 圆的证明 1.如图,,与相交于点,以点为圆心的圆过,两点及的中点,求证:是的切线. 2.如图,在中,,以为直径作,交于,过作,交于. (1)求证:是的切线; (2)连接,如果的半径为,,求的长; (3)在(2)的条件下,求的面积. 3.如图,为的直径,D是弦延长线上一点,,的延长线交⊙O于点E,连接CE. (1)求证; (2)若的度数为,求的度数. 4.如图,的两条弦,分别连接,,交点为P. (1)求证:; (2)连接,若为的直径,,,求的长. 5.如图,在中,,为上的一点,以为直径的半圆与交于点,且切于点. (1)求证:; (2)若,,求的长. 6.在中,,是边上一点,以为直径作交于点,并且与相切于点,连接. (1)求证;; (2)若的半径为,,求的长. 7.如图,是的外接圆,是的直径,是延长线上一点,连接,且. (1)求证:是的切线; (2)若直径,求的长. 8.如图,直线经过上的点,并且. (1)求证:直线是的切线; (2)过点作的切线,点为切点(与点不重合).若,的半径为5,求的长. 9.如图,的直径为10,弦为6,D是的中点,弦和交于点F,且. (1)求证:; (2)求的长. 10.如图,,点在上,过点作的平行线交于点,交过点的直线于点,且. (1)求证:是的切线; (2)若,求的长. 11.如图,在中,,以为直径的交于点D,于点E,延长交于点F. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的长. 12.已知:正方形中,是的中点,是上一点,且,、交于点,连接,平分交于,连接. (1)求证:; (2)求证:是等腰直角三角形. 13.如图,以线段为直径作,交射线于点,平分交于点,过点作直线于点,交的延长线于点.连接并延长交射线于点. (1)求证:直线是的切线; (2)求证:; (3)若,,求图中阴影部分的面积. 14.如图,A,B是上的两点,,C是的中点. (1)求证:四边形为菱形; (2)延长至,使得,连接,若圆的半径,求的长. 15.已知,在 ABC中,,以BC为直径的⊙O与AB交于点H,将 ABC沿射线AC平移得到 DEF,连接BE. (1)如图1,DE与⊙O相切于点G,求证:; (2)如图2,延长HO交⊙O于点K,交线段BE于点M,将 DEF沿DE折叠,点F的对称点恰好落在射线BK上,求证:; (3)如图1,在(1)的条件下,求的值. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.证明:连接, ∵, ∴, ∵, ∴,, ∴, ∴, ∵是的中点, ∴, ∴是的切线. 2.(1)证明:如图, , ,, , , , ,, , , , ,即, 是的切线. (2)解:如图所示,连接, 是直径, ,即, 在中, ,, , , , ∴. (3)解:由(2)可知,, , , 是中点,即是的中线, . 3.(1)如图:连接 是的直径 ,即 又 . (2)的度数为 又,且 . 4.(1)证明:∵,,, ∴; (2)如图, ∵为的直径, ∴, ∵, ∴设,, ∵, ∴, 在中,根据勾股定理得:, 即, 解得或(不符合题意,舍去), ∴,, ∴, 即的长为8. 5.(1)证明:连接, ∵切于点, ∴,即, ∵, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴; (2)解:连接, ∵,, ∴, ∵, ∴、都为等边三角形,, ∴, ∴, ∵,,, ∴, ∴. 6.(1)证明:∵是的切线,, ∴, ∴, ∴; (2)解:在中,,, ∴, ∴, 在中,, ∴. ∴的长为. 7.(1)证明:连接, ∵是的直径, ∴, ∴, 又∵, ∴, 又∵, ∴, 即, ∴是的切线; (2)解:∵, ∴, ∵在中, ∴ ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 设,则, 又∵, 即, 解得(取正值), ∴, 8.(1)解:证明:连接,如图, ,, , 直线是的切线. (2)如图,∵,为切点, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 9.(1)证明:, , , , ∴; (2)过B作于点H,连接, 为的直径, , 是的中点, ∴, , , , 即, , ∴, , , 在等腰直角三角形中, , 在中, , . 10.(1)证明:, , , , , , 是圆的切线; (2), , 连接,则, 由(1)知,则, ∴. 11.(1)如图所示,连接,, ∵ ∴是等腰三角形 ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的半径 ∴是的切线; (2)如图所示,连接, ∵,, ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴,即 解得 ∵为的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴. 12.(1)解:证明:在正方形中, , ,, 即在和中, , , , , , , , , 即; (2)连接, 由(1)得,, , 、、、四点共圆(如图所示), , ,