2024年中考数学复习专题训练：二次函数压轴题（面积问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题(面积问题) 1.如图,在平面直角坐标系中,直线分别交轴,轴于点,,抛物线经过点,,且与轴的另一个交点为,. (1)求抛物线的解析式. (2)设抛物线的顶点为,连接. ①求证:. ②是第一象限内抛物线上一点,且在抛物线对称轴右侧,,且交于点,连接,,,求四边形面积的最大值. 2.如图,直线的图像与x轴,y轴分别交于点B,A,点B与点C关于原点对称,反比例函数的图像经过平行四边形的顶点D. (1)求证:. (2)求反比例函数的解析式. (3)动点M从点A到点D,动点N从点C到点A,都以每秒1个单位的速度运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,四边形的面积最小?此时四边形的面积是多少? 3.我们不妨约定:二次函数与轴交于、两点,其中为顶点,当为等腰直角三角形时,我们称二次函数为“等腰直角函数”. (1)证明为“等腰直角函数”; (2)如图,在(1)的“等腰直角函数”图象中,过中点的直线与二次函数相交于,两点,求面积的最小值; (3)如图,、为“等腰直角函数”上不重合的两个动点,且关于过原点的直线对称,当点的横坐标为时,求出点的坐标. 4.二次函数(、、是常数)与轴交于两个不同的点、,与轴交于点,图象顶点为点,经过点、、三点,且. (1)求证:为等边三角形; (2)若,求的面积; (3)若直线与相切,求的值. 5.已知抛物线经过不重合的两点. (1)若点在该抛物线上,求的最小值; (2)已知三点中有且仅有一点在该抛物线上,若该抛物线与x轴只有一个交点,求该抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,直线l:与y轴交于点,与该抛物线交于A,B两点,点C的坐标是,连接分别交x轴于D,E两点,连接,记的面积分别为,,求证:. 6.如图,已知抛物线y=ax2+c过点(﹣2,2),(4,5),过定点F(0,2)的直线l:y=kx+2与抛物线交于A、B两点,点B在点A的右侧,过点B作x轴的垂线,垂足为C. (1)求抛物线的解析式; (2)当点B在抛物线上运动时,判断线段BF与BC的数量关系(>、<、=),并证明你的判断; (3)若k=1,在直线l下方的抛物线上是否存在点Q,使得 QBF的面积最大?若存在,求出点Q的坐标及 QBF的最大面积;若不存在,请说明理由. 7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a为常数,且a<0)与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,顶点为D,直线BD与y轴相交于点E. (1)求证OC=OE; (2)M为线段OB上一点,N为线段BE上一点,当a=时,求 CMN的周长的最小值; (3)若Q为第一象限内抛物线上一动点,小林猜想:当点Q与点D重合时,四边形ABQC的面积取得最大值.请判断小林猜想是否正确,并说理由. 8.如图,抛物线过点,,且与y轴交于点C,点E是抛物线对称轴与直线的交点 (1)求抛物线的解析式; (2)求证:; (3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点,设点P的横坐标为x,以点B、E、P为顶点的的面积为S,求S关于x的函数关系式,并求S的最大值. 9.如图,在正方形中,点在对角线上,交于点,连接. (1)如图 ,若,,求的长; (2)如图 ,连接,交于点,若,求线段的长; (3)如图 ,连接,,设,的面积为,请用 的表达式表示,并求出的最大值;当取得最大值时,连接,线段绕点顺时针旋转得到线段,与交于点,连接,求证:. 10.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2mx+3m,点A(3,0). (1)当抛物线过点A时,求抛物线的解析式; (2)证明:无论m为何值,抛物线必过定点D,并求出点D的坐标; (3)在(1)的条件下,抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上位于第一象限的点,连接AB,PD交于点M,PD与y轴交于点N.设S=S PAM-S BMN,问是否存在这样的点P,使得S有最大值?若存在,请求出点P的坐标,并求出S的最大值;若不存在,请说明理由. 11.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,连接,点为第二象限抛物线上的动点. (1)求、、的值; (2)连接、、,求面积的最大值; (3)过作,垂足为,是否存在这样的点、,使得与相似,若存在,请写出所有符合条件的点坐标,并选其中一个写出证明过程;若不存在,请说明理由. 12.已知二次函数 (1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点. (2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式. (3)在(2)的条件下,若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得 PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由. 13.如图,抛物线与轴相交于点、,与轴相交于点,点是射线上的一个动点,过