2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习：二次函数中的周长问题

人教版九年级上册数学期末专题练习 二次函数中的周长问题 1．抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)求证：为定值； (3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式； (3)过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG． 3．已知抛物线（）与轴有且只有一个交点，且与轴于交于点． (1)求与的关系式； (2)若时，点在抛物线的对称轴上； ①若过点的直线：（）与抛物线只有一个交点；证明：直线平分； ②设过点的直线与抛物线交于，点，则是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由． 4．【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【数学理解】 （1）①已知点，则_________． ②函数的图象如图①所示，B是图象上一点，，则点B的坐标是________． （2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使． （3）函数的图象如图③所示，D是图象上一点，求的最小值及对应的点D的坐标． 5．如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值 (3)如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值． 6．（2016山东省淄博市）已知，点M是二次函数（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为． （1）求a的值； （2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标； （3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF． 7．如图，抛物线的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：； (3)是否存在点，使点到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)设抛物线与直线另一交点为Q，F为线段上一点（不含端点），连接，一动点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案） 8．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点且点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 10．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接． (1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式； (2)求证：为直角三角形； (3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标