第07讲：三角函数与y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质-2023-2024学年高一数学【赢在寒假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第07讲：三角函数与y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质 【考点梳理】 考点一：正弦函数图像和性质 考点二：余弦函数的图像和性质 考点三：正切函数的图像和性质 考点四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换 考点五：求图像变化前后的解析式 考点六：三角函数性质的综合问题 考点七：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题 【知识梳理】 知识一．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 知识二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识三．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 知识四：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识五.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 技巧归纳： 1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 【题型归纳】 题型一：正弦函数图像和性质 1．（2023下·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）已知函数在区间内是减函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·全国·高一期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的单调递增区间是 B．图象的一条对称轴方程是 C．图象的对称中心是， D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 3．（2024上·四川成都·高一统考期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域. 题型二：余弦函数的图像和性质 4．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 5．（2023上·全国·高一期末）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值 (2)求函数的单调递增区间和单调递减区间 题型三：正切函数的图像和性质 7．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是奇函数 8．（2023下·贵州遵义·高一统考期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数的最小正周期为， (1)求图象的对称中心； (2)求不等式在上的解集． 题型四：正（余）型函数图像的平移伸缩变换 10．（2024上·云南楚雄·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 11．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单