精品解析：北京市东城区2023-2024学年高二上学期期末统一检测数学试卷

东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测 高二数学2024.1 本试卷共6页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 直线在平面内 C. 直线与平面垂直 D. 直线与平面不相交 3. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知是数列的前项和，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下： 支付金额（元） 支付方式 大于1000 仅使用A 20人 8人 2人 仅使用B 10人 6人 4人 从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ） A. 2041年～2042年 B. 2061年～2062年 C. 2081年～2082年 D. 2101年～2102年 8. 在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 已知，则“，，，为等比数列”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 曲线：，其中，均为正数，则下列命题错误的是（ ） A. 当，时，曲线关于中心对称 B. 当，时，曲线轴对称图形 C. 当，时，曲线所围成的面积小于 D. 当，时，曲线上的点与距离的最小值等于 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 直线：的斜率为________；过点且垂直于的直线方程是_________. 12. 如图，已知M是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_________. 13. 已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________. 14. 2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为__________. 15. 如图，正方形边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论： ①存在常数，使得恒成立；②存在正整数，当时，；③存在常数，使得恒成立；④存在正整数，当时，其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下： 方式 手机 电脑 电视 未观看 频率 0.5 0.2 0.1 02 假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率. （1）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式学生人数； （2）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率； （3）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率. 18. 已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，. （1）若，求的值； （2）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及. 条件①：；条件②：；条