复习06 对数运算与对数函数（十二大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习06对数运算与对数函数 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 考点01指对数的互化及对数运算 【方法点拨】根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 【例1】在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（1）; （2）. 【变式1-1】已知，，则 ．（用数字作答） 【变式1-2】 . 【变式1-3】（1）若，，求的值； （2）求的值. 考点02换底公式的运用 【方法点拨】（1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 【例3】化简的值为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知，，则用，表示 . 【变式2-1】记，那么 ． 【变式2-2】若，则 . 【变式2-3】求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 考点03识别对数(型)函数图象及定点问题 【方法点拨】处理对数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：对数函数的图象过定点，求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 【例5】函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【例6】已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【变式3-1】已知，则函数与函数的图象可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3-2】函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点04根据对数型函数图象求参数 【例7】已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（    ） A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1 C．m>0，n>1 D．m<0，n>1 【例8】如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【变式4-1】若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 【变式4-2】已知函数，若且，则的取值范围为 . 【变式4-3】已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 ． 考点05求对数(型)函数的值域 【方法点拨】（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． （2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 【例9】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例10】函数的最小值为 ． 【变式5-1】若定义运算，则函数的值域是 . 【变式5-2】已知（且）的图象过点. (1)求的值； (2)当时，求的值域． (3)若，判断的奇偶性. 【变式5-3】已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 考点06对数(型)函数的单调性问题 【方法