专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 平方根与算术平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 利用算术平方根的非负性解题 题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 题型六 求一个数的平方根 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 题型八 利用平方根解方程 题型九 平方根的应用 【知识梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 平方根与算术平方根概念理解】 【例1】（2023上·山东青岛·八年级统考期中）下列说法正确的是（　　） A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根 C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4 【变式训练】 1．（2022上·四川乐山·八年级统考期中）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根为 B．的算术平方根为 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为 2．（2023下·七年级课时练习）一个数的算术平方根为2m＋5，平方根为±（m－2），则这个数为 ． 3．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是 ，这个数的算术平方根是 ，两个平方根的和是 ． 4．（2022上·陕西西安·八年级校考期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（2023下·七年级课时练习）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5 C．的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6 【变式训练】 1．（2023上·四川达州·八年级校考期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一个数的算术平方根的是（   ） A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤ 2．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）已知，则的算术平方根是 ． 3．（2022上·广东深圳·八年级期中）如图．按下面的程序计算：若开始输入的x值为1．则最后输出的结果是 ． 4．（2022上·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）已知a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【经典例题三 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】（2024下·全国·八年级假期作业）若a，b为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【变式训练】 1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知，满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2023下·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知实数a、b、c满足，则代数式的值是 ． 3．（2021下·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期中）已知，则的值为 ． 4．（2023下·福建福州·七年级校联考期中）（1）已知与互为相反数． ①求的平方根； ②解关于x的方程． （2）已知正实数y的平方根是m和． ①当时，求m. ②若，求y的值． ③在②条件下，k是的小数部分，求的值．（备注：一个数的小数部分是指这个数减去不超过该数的最大整数） 【经典例题四 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例4】（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式训练】 1．（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（2022上·湖南郴州·八年级校联考期末）定义为不大于x